与直线相关的最值问题归类解析.pdf

2013年第 2期 数学教育研究 ·57 · 与直线相关的最值问题归类解析 刘少平 许书军 (湖北省仙桃第八中学 433000) 与直线相关的最值 问题融合 了代数、三角函数、平 13 x y+4一 。 面几何等知识和数形结合 的思想方法 ，是考查学生综 脯 合能力的好素材，在各级各类考试 中时常出现 ，相当一 l 一一了 部分同学失分现象严重，现将此类 问题归类解析 ，以期 对同学们有所帮助． 解得{ ： 1 距离之和型的最值 ， 由两点式可得直线 AB 的 例 1 已知两点A(2，3)， ／ 方程为 2z+ 一9—0，设 AB与 B(4，1)，在直线 L：+2y一2 ＼ ／， ／ B j L交于 P点，易求得 P 的坐标 =0上求一点 P，使 lPAl+ 为 (2，5)，在 L上任取一 点 P ， DJ J尸BJ最小． 己 由平几知识得 lPAI～lPBI— 务 IPAl— lPB l≤ 1AB I— IPAl 解 ：可判断A、B在直线L 的同侧 ，如 图 1，设 A点关于L — IPBl，故点P(2，5)为所求点． 的对称点A 的坐标为(z，。) 图 1 点评：若两定点A、B在直 图 4 线L的同侧时(AB连线与L不平行)，连结A、B两点 所在直线，交直线 L于点P，如图4，在 L上任取一点 脯 繁。 P ，则有 lIPBf— fPAff≤ lABf—fPBf—fPAl，当 P与P两点重合时，等号成立，最大值为1AB1． IXl一一 3 距离乘积型的最值问题 解得{ 例 3 过点P(2，1)作直线 L分别交 z轴、Y轴 的 l一～了 正半轴于A、B两点 由两点式求得直线AB的方程为 古(z一4)+ (1)若lPA1．1PB1取最小值时，求直线 L的方程 (2)若 lOA1．1OB1取最小值时，求直线 L的方程 1，直线AB与L的交点可求得为P(罢，一蠢)，在L 分析 ：由已知条件 ，设出直线方程 的适当形式，用 基本不等式求最值，并寻找最值成立的条件是解题的 关键． 解 ：(1)设直线 L的方程为 y一1一是(z一2)( (罢，一丢)为所求点． o)令y=0得点A(2--T1，o)，令z=0得点B(0，1— 点评 ：若两定点 A、B在直 2k) 线L的异侧 ，由两点之间线段最 r