与高阶抛物型Schrodinger算子相关的Riesz变换的L^p估计.pdf

陈玉英等：与高阶抛物型 SchrSdinger算子相关的Riesz变换的 估计 现在我们给出本文的主要结果． 定理 1 假设V∈Bq(”)，詈qn，则对于 1P≤P。， l1(+c一△。+)一厂．llL+≤-厂．tLcR+， 其 中 1 2 2 0 ～ P0 ql n 在本文中，通篇都用 代表常数而且每次出现不必相同．另外，B1^一B2表示存在一个常数 C1 使得 1／C≤B1／B2≤C成立． 另外，我们给出本文中两个记号代表的意义：对于X0∈ ，to0，7’0， B(xo，r)={∈R ：lY—Xolr)， Q (xo，to)={x，t)∈瓞+ ：lX—X0lr，to—rtto) 2 辅助函数m(x，V)和基本解的估计 在本币中，我们始终假设 V∈Bq(”)，其中qn／2． 辅助函数在与 SchrSdinger算子相关的调和分析问题中起着重要的作用．由文献 [3]．辅助函数 m(，V)可定义为 莉1sup{r： dy~l，xEIR~． 下面列举出关于辅助函数的部分引理，它们的证明可参见文献 [3]． 引理 1 测度 V(z)dx满足双倍条件 是指存在一个常数C0、使得 ／ v(v)dy≤C ／ v(y)dy B (z，2r) √Bf ，r) 对 上的任意球 B(，r)成立． 引理 2 对于 0rR∞，存在一个常数 C0，使得 击 ≤( 击 成立． 引理 3 如果 r： ，那么， 击 、 = 更进一步 击 一 436 中国科学：数学 第 44卷 第 5期 当且仅当r ． 引理 4 存在 l00，使得对于 上任意的X和 Y， (1+ ≤ 1+嘶 f0／fn“ 成立．特别地，如果 I—YI ，则 m(x，) m(，)． 引理 5 存在 fl0，使得 V㈨ dy~Cc1+Rm R 成立． 本文赋予空间R+ 下述与Euclid度量不同的抛物型度量：对于任意 (X，)，(Y，s)∈ n+， d((，)，(Y，s))=ma~(Ix一 l，lt—sll／)． (2．1) 接下来，我们将给出高阶抛物型 Schr5dinger算子基本解的估计． 用 r(x，￡；Y，s；)表示 +(一△)。+V ()+ =0在 + 中的基本解，其中 ∈[0，。。)．特 别地，记r(x，￡；Y，s；0) r(x，￡；Y，s)．根据文献 [21，推论2]，我们有下面的定理． 引理 6 假设V∈Bq(豫)，其中q1n／2．对于任意N ∈N，存在正的常数CN和 1，使得对于 所有的 (，￡)，(Y，8)∈ + 干口t8， Il rl(，￡；，；)I≤ _ 巧_ }i_i_厮 兰 (2．2)