专转本高数第七章第二节 多元函数的概念.ppt

第二节 多元函数的概念、极限与连续 前面几章讨论的函数都只有一个自变量,称一元函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题.本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分法和积分法.主要讨论二元的情况. * 一、多元函数的定义 例1 设长方体的长、宽、高分别为x,y,z， 则长方形的体积 x y z 当x,y,z的值分别给定时，按这个公式，V就有一个确定的值与之相对应，这时我们就称V是x,y,z的三元函数. * 一、多元函数的定义 例2 在西方经济学中，著名的Cobb—Douglas 生产函数为 L＞0，K＞0分别表示投入的劳力数量和资本数量， 这里C,α,β为常数， y表示产量. 当K,L的值给定时，y就有一确定值与 之对应，因此称y是K,L的二元函数. 以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义。 * 一、多元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数． 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 定义 * 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的图形 * 再如, 图形如右图. 例如, 球面. 单值分支: * 解 所求定义域为 求 的定义域． 例3 * 二、二元函数的极限 定义 * 证 证明 证毕． 例4 恒有 * 例5 求 解 由基本不等式 知 由夹逼定理， * * 例6 解 沿 x 轴考察, 沿 y 轴考察, * 三、二元函数的连续性 定义 一切二元初等函数在其定义域内都是连续的. 例如， 内连续. * 讨论函数 在(0,0)的连续性． 例7 * 注意比较： 讨论函数 在(0,0)的连续性． 例7 * 有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值． 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值. （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 *