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人大微积分课件8-5隐函数的求导法则

一、一个方程的情形 第五节 隐函数的求导法则 二、方程组的情形 三、由方程组确定的反函数的求导 公式 隐函数存在定理 1 设函数 在点 的 某一邻域内具有连续的偏导数,且 则方程 在点 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 ) ( x f y = ,它满足条件 并 有 . 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形 解 令 则 例1  验证方程 在点 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 时 的隐函数 ,并求这函数的一阶和二阶导 数在 的值 . 依定理知方程 在点 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且 时 的 函数 . 函数的一阶和二阶导数为 . 解 令 则 例2 已知 求 隐函数存在定理2 设函数 在点 的 某一邻域内具有连续的偏导数,且 则方程 在点 的 某一邻域内恒能唯一确定一个 ,它满足条件 单值连续且具有连续偏导数的函数 并有: 解 令 则 . 例3 设 ,求 解 令 则 思路: 把 z 看成 y x , 的函数对 x 求偏导数得 , 把 x 看成 y z , 的函数对 y 求偏导数得 , 把 y 看成 z x , 的函数对 z 求偏导数得 . 例4 设 ,求 , , . 把 z 看成 y x , 的函数对 x 求偏导数得 整理得 把 x 看成 y z , 的函数对 y 求偏导数得 整理得 把 y 看成 z x , 的函数对 z 求偏导数得 整理得 隐函数存在定理 3 设 在 点 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数,且 , ,且偏导数所组成的函数行列式 (或称雅可比式) , 二、方程组的情形 在点 不等于零,则方程组 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数 , ,它们满足条件 , ,并有 解1 直接代入公式; 解2 运用公式推导的方法, 求 , , 和 . 例 5 设 , , 将所给方程的两边对 求导并移项 将所给方程的两边对 求导,用同样方法得 在 的条件下, * * * *

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