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以曲代曲求证一类对称不等式

第3期 张艳宗,等:以曲代曲求证一类对称不等式 ·47 · 以 曲 代 曲 求 证 一 类 对 称 不 等 式 ●张艳宗 刘春苗 (元济高级中学 浙江海盐 314300) 对于条件是∑n = (其中 ∈N) , 证明形如 厂(;)≥ (或 ≤ )(其中 , 均为常数)的对 称型不等式,文献[1]利用以曲代曲的思想加以证明,起到了较好的效果.笔者进一步思考,对一般的非线 性约束条件∑V(x)=A或兀 :A,求证形如ZT()≥ (或 ≤ )(其中A,M为常数)的对称不等 . 式,以曲代曲是否仍然适用?笔者对此进行了一些研究,整理成文,与各位探讨. 例1已知,y,z0,且 +y4+z=l,求 + +≥的最小值· (2000年江苏省高中数学竞赛试题) 解条件式及待求式是关于,y,的对称结构,推断当 z√÷时, + +≥ 有最小值 互引进辅助不等式X3≥ +A(4一)(其中。1,其中A为待定系数),记 )= 一A )一学,且 = 处取得最小 舭 )= 筹_4A3. ( -o,解得A=学 先证明辅助不等式 ≥学十学 (一÷ … . ㈩ 式(1)铸南≥ 4铮9.+8≥9.,由均值不等式得 解 当n=1时,显然解为 =1.以下不妨设n≥2,此时构造多项式函数 t)=(t一 1)(£一2)…(t一 )=£+aIt一+a2t“一+…+an-1t+a, 贝0 /.()=/-(:):…=/【)=0. 而另一方面,结合原方程组可得 ∑f(x)=∑n+口∑n+0∑n+…+。 ∑ 。+0∑1= l 1 1 1 I= l l=1 ‘= 1 l= l + a111,+ a2n + … + an 一 111,+ann= 1), 对照可得 1)=0,这说明 。,:,…, 中有一个为1,不妨设 =1,则剩下的未知数 ,,,…,一。满足 n-l 方程组∑ =n一1(其中后=1,2,…,).以此类推,可得所有的 =1(其中 :1,2,…,凡),从而原方 l=l 程组的解为 l= 2=… = =1. 参 考 文 献 [1] 厉军萍.巧用构造法证明不等式竞赛题 [J].中学教研 (数学),2012(6):3236. [2] 何豪明.解一道竞赛题的“通性通法”[J].中学教研(数学),2014(12):4445. · 48· 中学教研 (数学) 9. .±=±.1≥9.瓣 :9. , 8个 眦·.蝴得禹+ 南 ≥学 44y4+Z4)=学 评注 此题解法颇多,此处 “以曲代曲”虽然没有 “占到任何便宜”,计算量也不小,但指出了此不等式 的几何意义,也恰是本解法的亮点所在. 例2已知0。,6,c1,且满足ab+bc+ca=1,求证:≥+ +≥≥ . (2004年新加坡数学奥林匹克竞赛试题) 证明 所给条件左边是关于 口,6,。的轮换对称结构,推断当口:6=c= 时等号成立.由于题 目条件 左边每一项含有2个字母,对其进行放缩,n。+b+c≥口6+bc+ca,则 口+b+c。I1. 引进辅助不等式 ≥譬十A(2一)(其中01,A为待定系数).记() 一 A(2一)一字,且()在=时取得最小值。 ()=若每一2由(孕)=。,

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