- 1、本文档共4页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
以曲代曲求证一类对称不等式
第3期 张艳宗,等:以曲代曲求证一类对称不等式 ·47 ·
以 曲 代 曲 求 证 一 类 对 称 不 等 式
●张艳宗 刘春苗 (元济高级中学 浙江海盐 314300)
对于条件是∑n = (其中 ∈N)
, 证明形如 厂(;)≥ (或 ≤ )(其中 , 均为常数)的对
称型不等式,文献[1]利用以曲代曲的思想加以证明,起到了较好的效果.笔者进一步思考,对一般的非线
性约束条件∑V(x)=A或兀 :A,求证形如ZT()≥ (或 ≤ )(其中A,M为常数)的对称不等
.
式,以曲代曲是否仍然适用?笔者对此进行了一些研究,整理成文,与各位探讨.
例1已知,y,z0,且 +y4+z=l,求 + +≥的最小值·
(2000年江苏省高中数学竞赛试题)
解条件式及待求式是关于,y,的对称结构,推断当 z√÷时, + +≥
有最小值 互引进辅助不等式X3≥ +A(4一)(其中。1,其中A为待定系数),记
)= 一A )一学,且 = 处取得最小 舭 )= 筹_4A3.
( -o,解得A=学
先证明辅助不等式 ≥学十学 (一÷ … . ㈩
式(1)铸南≥ 4铮9.+8≥9.,由均值不等式得
解 当n=1时,显然解为 =1.以下不妨设n≥2,此时构造多项式函数
t)=(t一 1)(£一2)…(t一 )=£+aIt一+a2t“一+…+an-1t+a,
贝0 /.()=/-(:):…=/【)=0.
而另一方面,结合原方程组可得
∑f(x)=∑n+口∑n+0∑n+…+。 ∑ 。+0∑1=
l 1 1 1 I= l l=1 ‘= 1 l= l
+ a111,+ a2n + … + an
一 111,+ann= 1),
对照可得 1)=0,这说明 。,:,…, 中有一个为1,不妨设 =1,则剩下的未知数 ,,,…,一。满足
n-l
方程组∑ =n一1(其中后=1,2,…,).以此类推,可得所有的 =1(其中 :1,2,…,凡),从而原方
l=l
程组的解为 l= 2=… = =1.
参 考 文 献
[1] 厉军萍.巧用构造法证明不等式竞赛题 [J].中学教研 (数学),2012(6):3236.
[2] 何豪明.解一道竞赛题的“通性通法”[J].中学教研(数学),2014(12):4445.
· 48· 中学教研 (数学)
9. .±=±.1≥9.瓣 :9. ,
8个
眦·.蝴得禹+ 南 ≥学 44y4+Z4)=学
评注 此题解法颇多,此处 “以曲代曲”虽然没有 “占到任何便宜”,计算量也不小,但指出了此不等式
的几何意义,也恰是本解法的亮点所在.
例2已知0。,6,c1,且满足ab+bc+ca=1,求证:≥+ +≥≥ .
(2004年新加坡数学奥林匹克竞赛试题)
证明 所给条件左边是关于 口,6,。的轮换对称结构,推断当口:6=c= 时等号成立.由于题 目条件
左边每一项含有2个字母,对其进行放缩,n。+b+c≥口6+bc+ca,则 口+b+c。I1.
引进辅助不等式 ≥譬十A(2一)(其中01,A为待定系数).记() 一
A(2一)一字,且()在=时取得最小值。 ()=若每一2由(孕)=。,
文档评论(0)