例谈多元约束条件下的不等式证明.pdf

第4粥 高中数学教与学 。高考之窗。 例谈萋元约束条件下晌不等式证明 李红春 李 威 (湖北省武汉市黄陂区第一 中学 ，430312) 纵观近几年全国各地高考试题，以函数 ∑lnabk≤0，即ln(0b2…0)≤0， 与导数、方程与不等式等知识为载体的多元 ^=1 · 约束条件下不等式证明问题一直处在压轴题 ． ． n n‘：≤1． 的位置 ，具有相当的区分度，对学生是相当大 ②证法1一方面，令。去(=1，2， 的挑战．本文分类例说求解这类问题 中的一 些重要策略，希望能对大家的教学有所借鉴 … ， n)，则毫。==砉6，由①得(击) 和启发． 策略1 不等式法 。 (去)…“(去)≤ 口6 6：≥ 不等式是解决数学 问题的重要模型，借 助函数最值及均值不等式、基本不等式、柯西 未 =1．另一方面，记s=塞令 不等式、排序不等式、琴生不等式构建不等关 系是证明不等式问题的重要手段． = (=l，2，…，n)，则∑CI,kt6=1= 例 1 (2011年湖北高考题) (1)已知函娄厂()=In ～ +1， ∈(0， 由①得()·()…()≤-，整 +∞)，求 )最大值 ； 理即得砖6 6·≤b+…+ (2)设 、b 0(k=1，2，…，n)，求证 ： 综上，得证． ① 若01bI+a2b2+…+anb ≤b1+b2+ 证法2 6：6…6 ≤b+b+…+b … +b，则 口b1lo …口 ≤1； 铮∑bilnb≤In∑b(i=1，2，…，n)． 1 ②若bI+b2+_一+b=1，则÷≤ 6 令 。()：1n ，由 ”．()：～—1O知 … 6：‘≤b+b；+…+6：． 1 ()=In 在 区间(0，+。o)E是 凸函数 。令 解 (1)由， ()=一,tI一1，易知 )在 ． Ai= =bi(i= 1，2，…，n)，则 ∑A = (0，1)内单调增，在 (1，+∞)内单调减，故 i=1 ． 厂()在 =1时取最大值 1)=0． ∑b，由琴生不等式，得In∑b≥∑b~lnb。， i=1 =1 i=1 (2)由(1)知，z0时，恒有 )≤0，即 故 6…6≤b+b；+…+ In 一1．于是6Ina ≤6(0^一1)(k=1， 2，…，n)，求和得 6：。6～6·§ln≤砉¨n设 ∑Ina≤∑akb一∑b． g()=ln詈，I~tg()=一10知g()= I=1 =1 I=1 ① 由条件 b ≤ 6及上式，可得 1n詈在区间