信号1.3-1.4.ppt

2延迟单位阶跃信号 二、冲激函数 信号与系统 1.4 阶跃函数和冲激函数 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。 1.4 阶跃函数和冲激函数 一、阶跃函数 1定义：下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。 选定一个函数序列γn(t)如图所示。 n →∞ 1.4 阶跃函数和冲激函数 3阶跃函数性质： （1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间 （3）积分 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。 狄拉克(Dirac)定义 函数序列定义δ(t) 冲激函数与阶跃函数关系 1. 狄拉克(Dirac)定义 积分面积为1； t =0 时， ，为无界函数。 函数值只在t = 0时不为零； 2.函数序列定义δ(t) 对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。 求导 高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。 3冲激函数与阶跃函数关系： 求导 n→∞ 求导 引入冲激函数之后，间断点的导数也存在 f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1) 求导 三、冲激函数的性质 取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数 1.4 阶跃函数和冲激函数 1. 与普通函数 f(t) 的乘积——取样性质 若f(t)在 t = 0 、 t = a处存在，则 f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a) 0 ε(t) 举例 1.4 阶跃函数和冲激函数 2. 冲激函数的导数δ’(t) （也称冲激偶） f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) 证明： [ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t) f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) δ’(t)的定义： δ(n)(t)的定义： 1.4 阶跃函数和冲激函数 3. δ(t) 的尺度变换 推论: (1) δ(2t) = 0.5δ (t) (2)当a = –1时 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数 1.4 阶跃函数和冲激函数 已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t) 求导，得g(t) 压缩，得g(2t) 1.4 阶跃函数和冲激函数 4. 复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n) ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4 ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2) 1.4 阶跃函数和冲激函数 ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2) 一般地， 注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。 冲激函数的性质总结 （1）取样性 （2）奇偶性 （3）比例性 （4）微积分性质 （5）冲激偶 信号与系统