信号与系统第二章讲稿.doc

连续时间系统的时域分析 内 容 摘 要 知 识 要 点 系统的状态 在系统分析中，一般认为激励是在时刻加入，这样系统的响应区间就为。系统在加入之前瞬间的一组状态，，...就是系统的起始状态（即状态）。加入之后，由于受激励的影响，这组状态从到时刻可能发生变化，时刻的这组状态，，...就是系统的初始条件（亦称为状态）。用时域经典法求解微分方程时，需要利用状态。由状态求状态可用冲激函数匹配法。 卷积积分 定义 卷积代数 交换律 分配率 结合律 性质 微分性质 积分性质 高阶导数（或多重积分）运算规律 设，则有 此处，当取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数。 微分积分性质 与冲激函数的卷积 （为常数） 与阶跃函数的卷积 与冲激函数导数的卷积 系统全响应的求解 系统的时域分析法有两种。一种是微分方程的求解，即采用数学中的经典解法，这种解法是将系统的全响应分成自由响应和强迫响应两部分求解，这种方法的重点在于首先根据微分方程求解出系统的单位冲激响应，然后将冲激响应与激励信号进行卷积积分，从而得到系统的零状态响应。至于零输入响应，其解的形式与自由响应相同，但确定零输入响应中的系数需利用状态，而确定自由响应中的系数时则需利用状态。 各响应分量的关系： 线性系统的特性 响应的可分解性 系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。 零状态线性 当起始状态为零时，系统的零状态响应对外加激励信号呈现线性。 零输入线性 当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系。 基 本 要 求 通过本章的学习，学生应深刻理解和时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配法；理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；掌握系统全响应的两种求解方式：自由响应和强迫响应；零输入响应和零状态响应；会分辨全响应中的瞬态响应分量和稳态响应分量；重点掌握卷积积分的定义、代数运算规律和主要性质，并会用卷积积分法求解线性时不变系统的零状态响应。 例题目录 ·例题1：连续时间系统求解（经典法，双零法） ·例题2：求冲激响应（nm） ·例题3：求冲激响应（n＜m） ·例题4：求系统的零状态响应 ·例题5：卷积 ·例题6：系统互联 例2-1 分析 在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是： 这三个量之间的关系是 分别利用 求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。 方法一：利用先来求完全响应，再求零输入响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。 方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量 来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。 本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。 方法一 完全响应 该完全响应是方程 （1） 方程（1）的特征方程为 特征根为 方程（1）的齐次解为 因为方程（1）在t0时，可写为 （2） 显然，方程（1）的特解可设为常数D，把D代入方程（2）求得 所以方程（1）的解为 下面由冲激函数匹配法定初始条件。 由冲激函数匹配法定初始条件 据方程（1）可设 代入方程（1），得 匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得 所以 ，所以系统的完全响应为 2.求零输入响应 （3）式的特征根为 方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为 所以，系统的零输入响应为 下面求零状态响应。 求零状态响应 零状态响应=完全响应—零输入响应，即 因为特解为3，所以 　　强迫响应是3，自由响应是 方法二 （5） 以上分析可用下面的数学过程描述 代入（5）式 根据在t=0时刻，微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等，得 于是 t0时，方程为 齐次解为 ，特解为3，于是有 所以，系统的零状态响应为 方法一求出系统的零输入响应为 完全响应=零状态响应+零输入响应，即 例2-2 分析 冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方法来求解本例。 方法一：奇异函数项相平衡法 方法二：齐次解法 方法一：奇异函数项相平衡法 首先求方程的特征根，得 因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，冲激响应为 对上式求导，得 则得 解得 代入（1）得 方法二：齐次解法 初始条件 得 解得 即 说明：齐次解法相对于奇异函数项相平衡法和冲激函数匹配法的优点是在求 时，只可能nm,无