关于一类无穷级数求和的递推公式.pdf

维普资讯 第 ¨卷 第2期 郑 州 工 学 院 学 报 VoL14 No．2 1993芷 6 月 JournalofZhengzhou |nstltutcofTechnology Jun． 1993 关于一类无穷级数求和的递推公式 邢恩宽 (郑州铁蹄教育学院) 摘 要： 本文借助于伽马函数，把轾数 ”‘和轾数 ‘化为广义积分的形武，蒜后用复舟 一 斩 的方法导出它们 的递推公武． ’ f 关键词：垂窆塾邈 些 递电 伽马西微，广义积分· ． 极 ∞ ， 中图分类号：0173 在无穷级数 的理 论和应 』Ij中求干玎l司地十分 婴 但又往往是十分困难的．本文讨论常 数项无穷级数 f：至 ，-z-．… (1) 与r，：主 ． ．2l… (2) 的求和问题 ．容易证明它们都是收敛的．文献 【1】曾给出了当P为偶数时求 S，的一种方 法．本文首先借助于伽马函数，把级数 (1)和 (2】化为广义积分的形式，然后用复分析 的方法导出它们的递推公式． 根据伽马函数的定义和性质 ”‘ r，(= (P一 1) e_。dt．，=1，2．3，…， 从而我们有 rc一J一c量!c 一le一。一黑Jx，一le一dx = 黑e-~dx=厂若 通过类似的演算我们可得 ·收稿 日期：l992-l2一l8 维普资讯 第2期 邢恩宽：关于一类无穷级数求和的 !竺兰 ■▲■ r J 办 令 ，， 一 ．， ： r 出 ， J ，J。 出 则我们有 卜 ： 。 r，一 南 p~1,2,-．- 这样我们把级数 (1)和 (2)表成了广义积分的形式- 一 叫 。≈ 办· 耻彻 ’jJr一 誉+脚，一lP一1r’一’…机 2／--1 』￡出= ，， (t-击 )f，一．，，，P=2，3|…， ‘ 由此可得 s，与 丁，所满足的关系式： (1一1)I= ， 3·…， 为了导出递推公式，考虑复变函数 z)： z)一 —_ ，P为太于1自帕 然强 e — I 这是一个亚纯函数，它的极点仝是简单的并且全在虚轴上，它们是 选取积分路径 ； U7U U7如图所示： 其中R是任一正数，显然 f(z)在含有 的某单连通域D 内解析，由关于复积分的 C~uchy定理得 y ， ● l~z)dz=∑即=0