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维普资讯 第 J9卷第 3；翔 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 V01．19．N0．3 2003年9 JournalofQiqiharUniversity Sep．．2003 关于周期函数的一些结果 张福 阁 (福建省泉州师范学院数学系，泉州362000) 摘 要：本文给出了周期函数的几个性质，并证明了连续的周期函数基本周期的存在性。 关 键 遢 ：周期函数；基本周期；性质 中图分类号 ：0171 文献标识码 ：A 文章编号：1007—984X(2003)03—0094—03 周期函数是一类 比较重要的函数，在理论研究与实际应用上占有一定的地位。周期函数的定义在各种 教材中不尽相同，本文采用如下定义： 对于函数Y=f(x)，如果存在正数 ，对f(x)定义域A中的任何一点 ，恒满足f(x± )=f(x)，则 称 ，()为周期函数， 称为 厂()的一个周期 。 ． ． 按此周期函数的定义，可以推出：Vx∈A有f(x+nO)=f(x)，这里，?∈z(z表示整数集)。因此f(x) 若是周期函数，则 ／()就有无穷多个周期，即nO，，?∈N (N表示 自然数集)都是它的周期。 如果周期函数f(x)的无穷多个周期中存在一个最小的7’，则称7’为f(x)的基本周期。此时可证 ／()的 任意周期都是7’的某一正整数倍。 一 般地说周期函数的周期通常都指其基本周期。 例 1 Y=~OSX以2，?兀(，?∈N)为周期，基本周期为 。 例2 Y= 一 ( 表示不超过 的最大整数)以任意 自然数为周期，基本周期为 1。 例3 Y=sin[2~(√3+√2)】以，?(√3一√2) ∈N)为周期，基本周期为 √3一√2。 例4 Y=C(C为常数)以任意正实数为周期，它不存在基本周期。 例 f1， 堤．有理数 ． 5 狄里克雷函数Y=D()={ 以任意正有理数为周期，它不存在基本周期。 f0， 是无理数 有了以上的这些准备工作，就可以给出周期函数的一些结果。 命题 1 若f(x)为周期函数，则 厂()的定义域为无界数集。 证 设 为f(x)的任一周期，则对 ∈ ，，?∈z，有f(x+nO)= ()，所以， +nOcA，当 充分 大时，有 +nOl可以大于预先给定的任意大的正数 ，因此厂()的定义域A是一个无界数集。 命题2 不存在仅以任何正无理数为周期的周期函数。 证 假设 ／()以任何正无理数为周期，于是任取正有理数 ，则一定存在正无理数 ，且 ，注 意到 一 仍为无理数，就有f(x+ )=f[x+(一 )+ 】=f[x+ 一 )】=f(x)，这说明任一正有理数 也 是 厂()的周期，此与题设矛盾。因此不存在仅以任何正无理数为周期的周期函数。 命题 3 若厂(x)为连续的周期函数，且不为常数，则厂()必存在基本周期。 证 因为 厂()为周期函数，则厂()的周期有无穷多个，设其周期的集合为 ，显然 0为 的下界． 收稿 13期 ：2003…05一l5 作者简介：张福阁，男，1952年生，大学本科，教授，主要从事代数方面的研究 维普资讯 第 3期 关于周期函数的一些结果 因而 必有下确界，设T=infM，下面来证明 (i) 0；(ii) 为 ／()的周期，从而就得到 为厂()的 基本周期 。 先证 (i)：按下确界的