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2015年 第 54卷 第 3期 数学通报 55 关于四面体旁切球半径的几个不等式 杨世 国 刘学英 (1．合肥师范学院数学与统计学院 230061；2．安徽新华学院数理部 230088) 本文 中我们约定三维欧 氏空间 中四面体 + + + ≥32． (5) A。AA。A 的体积为 ，外接球半径为R，内切球 lD2lD3ID4 IDlID3lD4 lD1J02104 IDl102JD0 半径为 r，顶点 A 所对的侧面 (三角形)的面积 当四面体为正四面体时等号成立． 为 S(i一1，2，3，4)，侧面 上的高为h (i一1，2， 本文给出不等式 (5)的如下对偶不等式． 3，4)，它的第 i个旁切球 (与侧面 -厂外切 ，与其余 定理3 对四面体 AA。A。A 成立不等式 三个侧面延长面内切的球面)半径为 (i一1，2， 已 !— —士_ — h2h3h4 ‘hlh3h4 ’hlh2h4 。hlh2h3 3，4)，四面体的棱长为a。一IAA，l(1≤i ≤ 4)．近期文献[1—8]中建立 了关于 四面体的一些 ≥ ·( ． (6) 有趣的不等式．文献[8]中建立关于四面体旁切球 当四面体为正面体时等号成立． 半径的如下一个不等式 为了证明上面 3个定理 ，需要引用下面几个 (1DllD2103P4)i≥≥2r． (i) 引理． 当四面体为正四面体时等号成立． 引理 1… 对 四面体 AAA。A 有不等式 一 个十分有趣和重要 的问题是 ，能否给 出 ≤ R。·r (7) (』DIDzP3P4)寺的一个上界估计呢?本文首先解决 3√3 这一问题 ，建立如下一个不等式． 当四面体为正 四面体时等号成立． ． 定理 1 对四面体A，AA。A 成立不等式 引理 2 对 四面体 AAA。A 成立不等式 1 9 p2 ≥8x3i1Ri1r号 ． (8) (plp2p3p4)寺≤寺。专， (2) 当AAA；A 为正四面体时等号成立． 当此四面体为正四面体时等号成立． 引理 3I1 设 四面体 AA2A。A 两侧面 设△ABC的旁切圆半径为lD， ， ，三条高 与厂，所成 内二面角0 ，f与厂，相交成棱长为 l 为h ，h6，h，H．Guggenheimer_g 建立如下一个 (1≤ ≤4)，则有 有趣的不等式 ： 一 导． ．sinO≤ ≤4)．(9) ()+()+()≥3 (3) 引理4l【。 对 四面体 AA2A。