关于实数的九个等价性命题.pdf

维普资讯 1994年第 2期 天 津 商 学 院 学 报 JOURNAL OF TIANJIN UNIVERSITY OF COM MERCE 一 关于实数的九个等价性命题 马绍芹 0，7 ．／ 摘要 由有限覆盖定理直接证明宴数连续性的人个命题t不难看出这些证明当中的一个已 包告 了九个命题 的等价性 。 On theEquivalenceofN inePropositionsof the RealNumbers M aShaoqin Abstract Themain contentofth／spaper isto proveeightproportionsofthecontinuity ofreal numbersby thefinitecovertheorem directly． Itisno[dfificultto see thatoneofthe~e proofscontainsthe equivalenceofninepropositions一 数学文献 中，在说 明实数的连续性时 ，都是从某一命题 出发 ，逐步地最终得到有 限覆盖 定理的证明，本文要做的是：用有限覆盖定理直接证明其它八个命题，从而也就包括了九个 命题等价性的证明(结合 已有的证明) 为了叙述方便，我们先把九个命题 列出(有的只提及它的名称)： (一)连续性 I(Dedekind)．将实数的全体 R 分为两组 ，下组 A及上组 B满足 ： l。两组都不空 ；2。下组的数都 比上组 的数小 ；3。任何数不属于 A，则属于 B，但 只属于一 组。于是存在一个数 a，比a大的数都属于 B，比a小的数都属于A，a本身看作属于 A(B)是 A(B)中最大 (小)数 。 (二)连续性 I(Welerstrass)：上 (下)确界存在定理 。 (三)连续性 in有上 (下)界 的增 (减)数列必有极限。 (四)连续性 Ⅳ(Cantor)：闭区间套定理 (五)连续性 V(Bolzano--Weierstrass)：有界数列必有收敛的子序列 。 (六)连续性 Ⅵ(Bolzano--Weierstrasa)：聚点原理 。 (七)连续性 Ⅶ(Cauchy)：柯西收敛准则 。 (八)连续性Ⅷ (Bored：有限覆盖定理 (九)连续性 Ⅸ(XHHI~HA )；设每个数 X对应一个命题 P(x)并满足：l。有一数 d，对所 有 x,Ca，P(x)都真；2。任给数 0，若P(x)对 x6都真 ，则存在一数 YB对 yY+P(y)也都 真 。 则对一切 X，P(x)都真 收稿 日删 ：l993 l213 维普资讯 1994年 3月 马绍芹 ：关于实数的九个等价性命题 2l 连续性 V与连续性Ⅵ的等价性 的证 明是很容 易的，但要用到 Zermelo公理 。 首先 ，用连续性Ⅶ证连续眭 Ⅱ： 设 A是有上界的一个数集，假若 A无上确界 ，我们将 【出矛盾 。令 a∈A，b是 A的一 个上界 ，即对任何 x∈A，xb。对任何 X∈[a_b]，则 X有三种可能 ：(i)x∈A，(ii)x∈A，x是 A 的一个上界，(ijj)x A不是A的上界。若x∈A，因A 中无最大数 ，所 以有x，∈A，使 xx，， 取正数 6xxmX，则U(x，)一fYIy—xI6x)中的任何数都不是A的上界。若 x∈A是 A 的一个上界，因它不是上确界 ．所 以至少存在一个正数 ，使对一且 yEA都有 yx一6I。所 以u(x^)中的每个数都是 A的上界。若x A，x不是 A的上界，则存在 x∈A使xx，取 正数 6xx--X，则 U(x，6x)中的数都不是 A的上界 ，所 以对任何 X∈[a．b]都存在正数 使 U(x，6x)一{YllY--xI