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数 学 杂 志 Vo1．34(2014) J．ofMath．(PRC) NO．2 关于扭曲数学期望的几个性质 李小娟 (山东青年政治学院国际商学院，山东济南250103) 摘 要：本文研究了扭 曲数学期望．利用构造示性函数的方法，证明了扭 曲数学期望满足常数平 移不变性的充要条_I寸走该扭曲数学期望是熵期望． 关键词：非线性数学期望；扭曲数学期望；熵期望 MR(2010)主题分类号：60E10；60H10 中图分类号：O211．1 文献标识码： A 文章编号：0255—7797(2014)02—0306—03 1 引言及预备知识 在本文中，首先给定概率空间 (，，P)，并假设对任意给定的P∈[0，1]，存在A∈ 使 得P(A)：P．记Lb(f~)为有界 一可测随机变量全体． 本文主要考虑如下的扭曲数学期望 [1】． []：=f-1(EP[，()])，X∈L6(Q)， 其中扭曲函数f∈C )是严格单调函数．易证 ，[．]是非线性数学期望 (参见文献 [2])，即 满足 (1)单调性：若X Y，则 ] [y]； (2)保常数性：对任给的常数c，有 [c]=C． 特别地，我们把 ／(x)=e ， ≠0时的扭曲数学期望 ， ]=1ln(Ep[ex])称为熵期 望，并简记为 1 []=÷ln(EP[ex】)，≠0． ／、 这里值得注意的是当 0时， [．]仍是非线性数学期望，满足 []=一 一[一 ]． 另外，如果该概率空问 (， ，JF))为维纳概率空问，该熵期望可由倒向方程引入 。【】 2 主要结果 定理2．1 对任意给定的X ∈Lb(a)，熵期望 []关于 是增函数且 }im~，[X]=Ep[X] — 0 收稿 日期：2012—10—20 接收 日期：2013一O1一O4 作者简介：李小娟 (1984一)，女，山西左权，助教，主要研究方向：非线性期望 由 _Lj 李小娟：关于扭曲数学期望的几个性质 307 式 易 证 在这里只证 0的情况，而 0的情况类似可证．对任意给定的 2 l0， 得 由H61der不等式 (Ep[eAIX】)／ (Ep[e。])／，从而可以得出 [X] 】．又由于 f(x)=e 是凸函数，由Jessen不等式可得 EP[ex] eEP[x 从而可得 IX] Ep[X]．另一方面，由控制收敛定理可得 imEp[1 l (e 一1)]=EP[， 圳 ^ h