关于方阵A的任意次幂求法.docx

关于方阵A的任意次幂求法对于任一方阵，通过矩阵乘法可求得A2，A3，…，An，…，所以理论上说对于任意n∈N，An均可求出来，但实际计算却是相当困难的，下面给出几种An的求法.一，定义法.若方阵阶数比较小或者秩很小或是个稀疏矩阵，则可用定义直接相乘.1.关于对角矩阵，则.2.若r(A)=1，则A可表示为，则.3.若，则.二，对角化法.若A可以对角化，即存在可逆方阵P，使得，其中为对角矩阵，则（此处加入例子302）.例求An，其中.解：通过对角化，矩阵A可化为，其中可逆矩阵，故，.特别地，1.若A为m阶方阵，A有m个互异的特征值，则A一定可以对角化，则An可以用上述方法求得.2.若A为实对称矩阵，则必存在可逆方阵P，使得，其中为全体特征值构成的方阵.从而有.三，二项式展开.首先不加证明给出一个定理：定理：若A、B为同阶方阵，且AB=BA，则）.由这个定理，可将A分解成两个可以交换次序的方阵的和，再用该定理展开.例求An，其中解：，其中故.四，数学归纳法.已知A，算出A2，A3，…，寻找规律，并用数学归纳法加以证明.例求An，其中.解：经过计算得，，，……由此猜想，.下面对此给予证明：①当n=1时，显然成立.②假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，有，从而结论成立，证毕.五，利用Hamilton-Caylay定理.利用Hamilton-Caylay定理求An有两种方法.1.设A的特征多项式为，特征值为，由带余除法可得：，其中，且.设A为m阶方阵，则可设，将代入并根据根的重数，可求出，从而.2.设A的阶数为m，为A的特征多项式，设，由可得，两边同时乘以An，可得，不妨把A1，…，An，…看成数列{bn}，即要求出数列的通项，而该数列满足递推式，由于为常数，可得该线性递归数列的特征方程为，其根为，重数为重，，则，其中均为m阶方阵，可用待定系数法求解，从而.特别地，s=m时，，分别令n=1,2,…,m，可求出方阵.例求An，其中.解：A的特征多项式为令，可得，从而，分别令n=1，2，可得，所以.六，杂例.1.对角化法推广.在对角化法中，我们要求A可以对角化，现将这一条件去掉.对任意方阵A，总有总存在方阵B，使得A与B相似.因为任意方阵A，存在可逆矩阵P，使得，ri为的重数，取B=J，则B必然存在.由A与B相似，从而存在可逆矩阵Q，使得A=Q-1BQ，从而An=Q-1BnQ，若Bn可以求出，则An也可以求出.例求An，其中解：因为存在矩阵，使得而，所以.2.其他方法.例求解解：设，则，可得两式相加得两式相减从而解得故.【参考文献】1.北京大学数学系前代数小组.高等代数（第三版），高等教育出版社，2003年7月.2.杨子胥.高等代数习题解（修订版），山东科技出版社，2005年3月.