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关于积分中值定理的注记
高等数学研究 Vol 4,No .4
41 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Dec.,2001
教学随议
关于积分中值定理的注记
( )
杜瑞芝 辽宁师范大学数学系 辽宁大连 116029
在学习积分中值定理这一节时, 常有学生把它与微分中值定理进行比较, 提出为什么微分中值
( )( ) ( )
定理中的“中值”∈ , 开区间 , 而积分中值定理中的“中值”∈[ , ] 闭区间 ? 能不能把积分
a b a b
中值定理中的闭区间改为开区间? 以及 是否唯一等。本文就以上问题, 以及微分中值定理与积分
( )
第一 中值定理的关系, 积分中值定理的应用等进行讨论。
为简单起见, 我们就积分第一中值定理的特殊情形进行讨论。
[ 积分第一中值定理] 若函数f (x ) 为[a , b ] 上的连续函数, 则存在 ∈ [a , b ], 使
b
( ) ( )( )
f x dx = f b - a
∫
a
( )
现行通用的教科书 如北京师范大学、华东师范大学、复旦大学等校所编的 上的证明大体上相
同, 如下文:
由于f (x ) 在[a , b ]上连续, 根据闭区间上连续函数的性质,f (x ) 在[a , b ]上存在最大值M 与最
小值m , 即
m ≤f (x ) ≤M , x ∈ [a , b ]
根据定积分的性质, 有
b
m (b - a ) ≤ f (x ) dx ≤M (b - a )
∫
a
或
b
f (x ) dx
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