具有阀值策略的M／M／2／K多重休假排队系统.pdf

第32卷 第6期 工 程 数 学 学 报 Vo1．32No．6 2O15年12月 CHINESEJOURNALOFENGINEERING MATHEMATICS Dec．2015 doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2015．06．003 文章编号：1005—3085(2015)06—0812．11 具有阀值策略的M／M／2／K多重休假排队系统木 李 惠，岳德权 (燕山大学理学院，秦皇岛 066004) 摘 要：本文研究了带有阀值策略的服务器不同的M／M ／2／K异步多重休假排队系统．第一个 服务器在服务完一个顾客后，若发现系统中无等待的顾客，则立刻开始休假．当系统 中等待的顾客数小于阀值时，第二个服务器开始休假．论文通过深入研究该系统的性 能，为决策者提供一些参考．利用矩阵分析的方法，求出了系统的平稳概率向量和排 队指标的解析表达式．最后，我们构造了一个费用模型，并分析了各参数对系统最小 费用和最优阀值的影响． 关键词：排队系统；阀值策略；异步休假；矩阵分析；费用模型 分类号：AMS(2000)90B25 中图分类号：0226 文献标识码：A 1 引言 服务器在系统空闲时可以进行休假、服务第二类任务或从事其他辅助性工作，如机器 的检修等，这段时间均可以看作服务器休假．Levy和Yechiali[】、Vinod[引、Chao和Zhao[3】 等已对M／M／c休假排队系统进行了深入的研究．Tian等4【】、Zhang和Tian[~,6】得到了 一 些M／M／c休假排队系统的队长和顾客等待时间的条件随机分解结果．这些文献 都假设所考虑的多个服务器 的服务率是相同的，而不 同服务率 的多服务器休假排 队系统在实践中也有广泛的应用 ．特别是在人工服务系统中，服务率往往是不 同 的．Kumar和Madheswaxi[71研究了两个不同服务器的异步多重休假的M ／M ／2排队系 统，利用矩阵几何解 的方法得到了系统的队长和等待时间的平稳分布 ，但并没有求出 率阵R的解析表达式．Yue等8[]进一步研究了文献 7『1的模型，求出了率阵R的解析表达 式，并得到了系统的平稳队长和等待时间的条件随机分解结果． 有一些文献研究的是具有阀值策略的多服务器休假排队系统．Kella[91最早研究了Ⅳ． 策略的M／G／1型多重休假排队系统，分别得到了系统在顾客单个到达和成批到达情况下 的排队指标．Zhang[10]考虑了一个三阀值策略的M ／M ／c休假排队模型，当系统中顾客数 减少到 (C—d)个时，e(e d)个服务器同时开始休假，直到一次休假末，系统中顾客数 达到阀值N，e个服务器才停止休假返回系统．通过矩阵分析的方法，求出了系统的排队 指标，并得到了系统平均队长和顾客等待时间的条件随机分解结果． 收稿 日期：2014-06-23． 作者简介：李惠(1988年12月生)，女，硕士．研究方向：排队论 基金项目：国家 自然科学基金 ． 第6期 李惠，岳德权：具有阀值策略的MIMI21K多重休假排队系统 813 考虑到实际工作中，一个服务系统接收到的顾客访 问量通常会随着时间而波动，如移 动通信、公共交通、餐厅或超市等领域．这些系统的服务器使用强度并不均匀，为了解决 此问题，本文构造了一个两个不同服务器的异步多重休假排队系统，与文献 [7，8]不同的 是，本文设定了一个阀值来控制服务率较小的服务器的使用时间，即只有当系统中等待的 顾客数达到阀值m时，第二个服务器才被使用，否则它将一直处于休假状态 ．这样系统在 顾客量较少时只利用服务率较大的服务器，当顾客量逐渐变大时才同时使用两个服务器， 既减少了顾客的等待时间，又节约了成本． 2 模型描述 考虑一个具有阀值策略的两个不同服务器的M／M／2／K多重休假排队系统．模型描 述如下： 11 顾客按参数是 的泊松过程到达系统．顾客到达系统后排成一队等待分配 ； 2) 两个服务器的服务时间均服从负指数分布，参数分别是 1和 2； 31 当第一个服务器服务完一个