几类含参变量积分的极限的证明.pdf

维普资讯 高等数学研究 Vo1．8．No．6 38 STUDIESIN C0LLEGEMATHEMATICS Nov．．2o()5 几类含参变量积分的极限的证明。 陈飞跃 (保险职业学院人文科学系 湖南长沙 410114) 摘 要 根据命题的条件分类归纳，找出几种含参变积量积分的极限的分析证明方法． 关键词 含参变量积分 周期函数 绝对可积 广义积分收敛 逼近 中图分类号 0172．2 含参变量积分的极限的证明，初学者感到困难、无从下手，主要是因为由条件向结论过渡的解 题方向难以确定．下面介绍了两种根据命题的条件分类归纳的分析证明方法． (一)若被积函数为一具体函数和一抽象函数的积，则先求出具体函数在对应区间上的积分， 然后根据题设条件例如函数的连续性，limf()存在，广义积分收敛性等将积分区间分段讨论，再 证明每个区间上的积分值任意小即可． 例1设厂()在[o，1]上连续，求证明t— im[te-t2x2f()= o) ¨ ∞ ．，u 分析 因为 。 _++‘∞I1t·edz=H∞JfOed“=上ed“=字Z 所 以． 1im[te o) = 0) 因此要证明原式便成为要证明limf【te [ )一 0)]dx=0 又由于厂()在 =0处右连续，所以V占0，j 0，当0 ≤ 时，I )一厂(0)J占， 于是我们可以把区间[0，1]分为两个子区间[0，]，[，1]来讨论，只要证明每个区间上积分 值任意小即可． 证明 因 )在E0，1]上连续，故 jM 0，使M ：maxl厂()l； 解 。时；属于 型 原原式 lim 丛 =：o。 例7 设函数厂()可导，且厂(o)=o，F()= 一 dt，求 解 分析 因为被积函数中含有变量 ，所以应先作代换． 令 = 一t，则F()= 厂()du，F()= 一 ) x)= imF(x)=lF(． 乏1 l im l 一 枷 枷 2 ， — imf(X~)-=坚 } = (o) ·收稿 日期：2Oo4—o9—O8 维普资讯 第8卷第6期 陈飞跃：同类含参变量积分的极限冉勺证明 39 又 为 ( 在 =0处右连续 ，对 V 0， 0，便 当0 时 ， 有I)一o)I 于是lte-lrf()一o)]出l Ij~re-,2,2rf(f(o I+ f(o e 2 。d 由于广义积分 ed=孚收敛，根据广义积分收敛的性质，对上述o，3Ao，当t A且 A即tmax(A，A)时 ， ~@-u2d，记A=max(A，A)，所以Vo，3AA，当t A时，有lte-l )一o)]出l予寿+2。 故该命题得证· 例2 设 )在[。，+。。)上连续，且lim )=0，求证：lime～ ·J t)edt=0． — +∞