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凸函数的等价描述与Jensen不等式
23 2 2001 4
V ol. 23 No. 2 JOU RNA L OF L ISH U I T EA CHERS COL LEGE A pr . 2001
Jensen
林银河
( 丽水师范专科学校数学系, 浙江丽水, 323000
: 凸函数是一重要概念, 它在许多学科里有着重要的 用, 但凸函数有多种不同的定义本
文试图讨论凸函数的各种不同的定义的等价描述, 进而讨论Jensen 不等式及其应用
: 凸函数; 函数; Jensen 不等式
: O174 . 13 : A : 1008- 6749( 2001 02- 0008- 04
[ 1]
1 f ( x ) I , x 1, x 2 I , ( 0, 1) ,
f ( x 1 + ( 1- ) x 2) f ( x 1) + ( 1- )f ( x 2) ,
f ( x ) I
, ,
2[ 1] f ( x ) I ,f ( x ) I , x 1, x 2 I ,
x 1 + x 2 f ( x 1) + f ( x 2)
f ( 2 ) 2
[ 2]
3 f ( x ) I ,f ( x ) I , x 1, x 2, !, x n I ,
f ( x 1 + x 2 + !+ x n ) f ( x 1) + f ( x 2) + !+ f ( x n )
n n
1, 2, 3 : [ 2]
( 1) 1 2, 1 3;
( 2) 2 3 ;
( 3) f ( x ) I , 12 3
[ 2]
1 f ( x ) I , x 1, x 2, x 3 I , x 1 x 2 x 3, :
( ∀)f ( x ) I ;
( #) f ( x 2) - f ( x 1) f ( x 3) - f ( x 2) ;
x 2 - x 1 x 3 - x 2
f ( x 3) - f ( x 1) f ( x 3) - f ( x 2)
( ∃) ;
x 3 - x 1 x 3 - x 2
f ( x 2) - f ( x 1) f ( x 3) - f ( x 1)
( %)
x 2 - x 1 x 3 - x 1
( ∀) ( ∃)
( ∃ )
: 2000- 09- 22
: ( 1965- , , ,
2 : Jensen
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