凸函数等价性讨论.pdf

( ) 2003 年 3 月 广西师范学院学报 自然科学版 Mar . 2003 第 20 卷 第 1 期 Journal of Guangxi Teacher s College (N at ural Science Edition) Vol . 20 No . 1 文章编号 (2003) 0 1003 104 凸函数等价性讨论 王 　飞 (广西师范学院 数学与计算机科学系 ,广西 南宁 53000 1) 摘 　要 :该文综合了凸函数已有的成果 ,获得了一个新命题 ,并论证了各个命题的等价性. 关键词 : 凸函数 ;等价 ;命题 中图分类号 :O174 . 13 　文献标识码 :A 文[ 1] ～[ 6 ] 中已给出了凸函数一些等价命题 ,本文广泛地综合了各篇文章所给命题 ,对个别命题作 ( ) 了改进 ,其中 11 是本文的新结果 ,并给出了等价性证明的简便方法. ( ) ( ) 定理 　设 f x 在 a , b 上有定义, 则以下 17 个条件相互等价 : ( ) [ 1] ( ) λ ( ) λ ( λ) λ( ) ( λ) ( ) 1 　若 x 1 , x 2 ∈ a , b 及 ∈ 0 , 1 , 有 f [ x 1 + 1 - x 2 ] ≤ f x 1 + 1 - f x 2 ( ) [ 1] ( ) 2 　 qi ≥0 : q1 + q2 + …+ qn = 1 , x 1 , x 2 , …, x n ∈ a , b , 有 f ( q x + q x + …+ q x ) ≤q f ( x ) + q f ( x ) + …+ q f ( x ) . 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n ( ) [ 2] ( ) ( ) 3 　 p i ≥0 i = 1 , 2 , …, n 不全为零, x 1 , x 2 , …, x n ∈ a , b , 有 p x + p x + …+ p x p f ( x ) + p f ( x ) + …+ p f ( x