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函数、极限、连续 练习题
函数、极限、连续
.
例2、.(可用图像法)
例3、已知的定义域为,求的定义域.
解: 则,即的定义域为,于是,故.
例4、设和互为反函数,则的反函数为(B)
(A) (B) (C) (D)
解:,则,即,于是,即
故的反函数为.
题型二 函数性态
例1、定义于上的下列函数为奇函数的是(C)
(A) (B) (C) (D)
例2、当时,变量是(D)(注意函数的局部性质)
(A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界量 (D) 无界量
注:当时,若,则;若,则.
例3、设,下列结论成立的是(C)
(A)存在,当时, (B) 存在,当时,
(C) 若,则存在,当时,
(D) 若当时,,那么.
注1:若,则对,存在,当时,总有(局部有界).
注2:若,当时,,那么(局部保号).
例4、在下列区间中有界的是(A)
(A) (B) (C) (D)
注:若在内连续,且,则在内有界.
题型三 未定式计算(限于,,,,另三种,以后讲)
例1、 求极限:
(1);(2) ;(3);
(4);(5);(6);(7)
解 (1): 原式.(找老大,去小口算;同除老大显算法)
解 (2):原式.
解(3):原式=.(找同阶老大,去小口算;同除老大显算法)
原式(是错的)
注:等价无穷小代换可在中对较复杂的“0”进行等价代换,当分子(母)由各无穷小因子相乘时,可对较复杂的无穷小因子进行等价,这能保证整体也等价;而当分子(母)由各无穷小因子相加(减)时,一般不能对各无穷小因子进行等价,一种处理为和差化积,一种处理为各分项同除最低次等价项(同阶老大)后看能否拆开.
解(4):原式.
注:当时,.
解(5):原式.
解(6):原式.
解(7):原式.
注:.
题型四 极限存在题型
例1、判断下列极限存在吗?
(1);(2);(3);(4)
(5);(6)(7)
提示:(6)因,则原式
(7)
注1: 时,,,,的极限不存在,先研究
时,,的极限不存在,只需注意其为有界量,,也可考虑有界量性质
注2:一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散,对函数有类似结论
注3:注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理
注4:当有限和难以表达时,对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则
注5:极限函数的求法,要注意对取值范围的讨论,如等.
例2、求其中.
提示: 令 ,则
,则原式=(本题的结论是一个常用结论).
例3、设,且(C)
(A)存在且等于零 (B)存在但不一定等于零 (C)不一定存在 (D) 一定不存在
提示:若,由夹逼定理可得,故不选A与D.
取,则,且,但 不存在, B不正确.
例4、设,则数列有界是数列收敛的(C)
(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)即非充分地非必要条件.
例5、设,求.
解:由题意,知 ,先证收敛
,由数学归纳法知有上界.
又,即由单调有界定理知收敛,
令易知 解得 ,即.
注:(1)对数列,若有递推表达式,则一般使用单调有界准则证明数列的收敛性.
(2)若,有时也会用证明数列的单调性.
(3)对此类题,往往利用递推表达式先定出极限,再证明数列的界性,最后研究其单调性.
(4)若该题改为:设,,求.
则分三种情况讨论:若,用单调增上有界完成;若,则;若,用单调减下有界完成.
题型五 极限应用题型(先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型,以后再研究可导性判断)
例1、当时,用表示比高阶的无穷小,则下列式子中错误的是(D)
(A)(B)(C)(D)
解:对于(D)可找出反例,如当时,但.
例2、已知当时,与是等价无穷小,求的值.
解:
,则,显然.
例3、求曲线的渐近线方程.
解: 为其铅直渐近线
又 为其斜渐近线.
注:记忆各类渐近线的确定方法:
①若,,称为一条水平渐近线,一个函数至多有两条不同的水平渐近线;
②若,,称为的一条铅直渐近线;
③若,,称为的一条斜渐近线.
例4、试确定的间断点,并判断其类型.
解:其间断点为 (),因,则为其可去间断点;
又 , 此时, ()为其第二类间断点
而 为其跳跃间断点.
例5、,试确定该函数的渐近线,并判断其间断点类型。
解: 为其铅直渐近线,且为其第二类间断点;
为其水平渐近线;又 为其水平渐近线;
而,故为其第一类中的跳跃间断点.
例6、求证:设在间断,在连续,则在间断.并举例说明在可能连续.
提示:设,,则在间断,在连续,在连续;若设,在间断,但在均连续.
注:“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件.
三、课后练
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