函数与方程(数形结合思想).doc

函数与方程高考会这样考　1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力． 复习备考要这样做　1.准确理解函数零点与方程的根，函数图象与x轴交点之间的关系，能根据零点存在性定理和二分法求方程近似解；2.会利用函数值域求解“a＝f(x)有解”型问题；3.利用数形结合思想解决有关函数零点的个数问题． 1． 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是f(x)＝0的根． 2． 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象与零点的关系 Δ0 Δ＝0 Δ0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 无 3.二分法 (1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④. [难点正本　疑点清源] (1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根； (2)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件． (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 1．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_______． 答案　－，－ 解析　由，得. ∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点为－，－. 2． 已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________． 答案　3 解析　由题意知，f(3)＝ln 3－10，f(4)＝ln 4－20，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k＝3. 3． (2012·湖北)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 答案　C 解析　当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0,4]， 所以0≤x2≤16. 因为5π16， 所以函数y＝cos x2在x2取，，，，时为0， 此时f(x)＝0，所以f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为6. 4． (2011·课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　) A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，) 答案　C 解析　∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋40. ∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数． ∵f(－)＝e－－40，f(0)＝e0＋4×0－3＝－20， f()＝e－20，f()＝e－10， ∴f()·f()0. 题型一　函数零点的判断 例1　判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 思维启迪：第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解． 解　(1)方法一　∵f(1)＝12－3×1－18＝－200， f(8)＝82－3×8－18＝220，∴f(1)·f(8)0， 故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点． 方法二　令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]． ∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3[1,8]，