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函数专题：单调性与最值 一、增函数 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？ 不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。 注意： ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) ． 二、函数的单调性 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 【判断函数单调性的常用方法】 1、根据函数图象说明函数的单调性． 例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以 及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间． 2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的 单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1x2； ② 作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 例2、证明函数在（1，+∞）上为减函数． 例3、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？证明你的结论．已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围． 例5、判断一次函数单调性. 例6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数． 【归纳小结】 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 〖针对性练习〗 1.函数的单调区间是（ ） A．（-，+） B.（-，0） （1，，） C.（-，1） 、（1，） D. （-，1）（1，） 2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是(?? ). 　A．?? 　　B．????? C．　　D． 3．函数的增区间是（??）。 　A．[-3，-1] B．[-1,1] C．? D． 4、已知函数，判断在区间〔0，1〕和（1，+）上的单调性。 5、定义在（－1，1）上的函数是减函数，且满足：，求实数的取值范围。 6、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？证明你的结论．设y=f(),u=g(x),当x在=g(x)的定义域中变化时，=g(x)的值在y=f()的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量形成的一种函数关系，记为 　　y=f()=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，为中间变量，y为因变量(即函数)f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数 单调性 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 例1、已知，求的单调性。 例2、已知，求函数的单调性。 〖针对性训练〗 1、已知，求函数的单调性。 2、已知，如果，那么（ ） A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数 C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数 三、函数的最大（小）值 1．函数最大（小）值定义 1）最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得． 那么，称M是函数的最大值． 2）最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得． 那么，称M是函数的最小值． 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即