函数中的等腰三角形.doc

函数中的等腰三角形 山东省枣庄市峄城区二十八中学 潘歌 邮编:277300 近年来，将等腰三角形和函数结合在一起的中考题经常出现，成为一个热点，本文对此特别归纳如下： 1、直角坐标系与等腰三角形 例1 在直角坐标系xOy中，已知点A、C的坐标分别为A（－2，0），C（0，），在坐标平面xOy内是否存在点M，使AC为等腰三角形ACM的一边，且底角为30°，若存在，请写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由。 分析：已知点A、C的坐标，即△AOC确定。 又AC=4，∠AOC=30°，∠CAO=60° 由AC为等腰三角形ACM的一边知AC既可以是腰，又可以是底边。 ①当AC为等腰三角形的腰时，可求得M坐标： ，。 ②当AC为等腰三角形底边时，可求得M坐标为 。 所以，存在六个符合要求的点M： ，， 。 2、一次函数与等腰三角形 例2 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象，与x轴交于点A，与y轴交于点B。 （1）若以原点O为圆心的圆与直线AB切于点C，求C点坐标。 （2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由。 分析：（1）略；（2）由一次函数求出交点A、B的坐标A（，0），B（0，2），所以AB=4，∠OAB=30°，∠ABO=60°。 ①当AB为等腰三角形的腰时，以A为圆心，AB为半径画弧交x轴于P1、P2，得（，0），（，0）；以B为圆心，BA为半径画弧交x轴于P3，得P3（，0）。 ②当AB为等腰三角形底边时，作线段AB的垂直平分线交x轴于P4，利用∠OAB=30°，AB=4，求出AP4，由，得。 所以，综上知P点坐标为 4. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b0)． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P（点P不在y轴上），连结PP，PA，PC．设点P的横坐标为a． (1)当b＝3时， ①求直线AB的解析式； ②若点P的坐标是(－1，m)，求m的值； (2)若点P在第一象限，记直线AB与PC的交点为D． 当PD：DC=1：3时，求a的值； (3)是否同时存在a，b，使△PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由． ：(1)①设直线AB的解析式为y=kx+3， 把x＝－4，y＝0代人上式，得－4k+3＝0， ∴， ∴ ②由已知得点P的坐标是(1，m)， ∴，∴. (2) ∵PP∥AC， ∴△PPD∽△ACB， ∴， ∴. (3)以下分三种情况讨论． ①当点P在第一象限时， i)若∠APC= 90°，PA= PC（如图1），过点P作PH⊥x轴于点H，∴PP=CH=AH=PH =AC， ∴，∴． ∵PH＝PC=AC，△ACP∽△AOB， ∴，即， ∴． ii)若∠PAC=90°，PA= CA(如图2)，则PP=AC，∴2a＝a+4，∴ a＝4． ∵PA＝PC＝AC, △ACP∽△AOB， ∴，即，∴． iii)若∠PCA =90°，则点P，P都在第一象限，这与条件矛盾， ∴△PCA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形． ②当点P在第二象限时，∠PCA为钝角（如图3），此时△PCA不可能是等腰直角三角形． ③当点P在第三象限时，∠PAC为钝角（如图4）， 此时△PCA不可能是等腰直角三角形，∴所有满足条件的a，b的值为. 3、反比例函数与等腰三角形 例3 一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系内，一次函数经过点（a，b）和点（）； （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点A在第一象限，且同时在两个函数图象上，求点A坐标； （3）利用结果2，请问在x轴上是否存在于点P，使△AOP为等腰三角形，若存在把符合条件的P点坐标求出来，若不存在，请说明理由。 图3 分析：（1）；（2）（3）A（1，1），O（0，0），所以。 ①当OA为等腰三角形的腰时，以A为圆心，AO为半径画弧，交X轴于P1，其坐标P1（2，0）；以O为圆心，OA为半径画弧，交x轴于P2、P3，则 ②当OA为等腰三角形的底边时，作线段AO的垂直平分线交x轴于P4，如图3所示，∠AOP4=45°，，所以，即P4（1，0），故满足题设条件的点有四个 P1（2，0），，P4（1，0）。 4、二次函数与等腰三角形 例4 如图4，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上， （1）请写出P、M两点的坐标，并求出这条抛物线的解析式。 （2）设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值。 （3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q（除