函数方程的一些解法.pdf

维普资讯 ·44· 重庆 《数学教学通讯))2005年 lO月 (上半月)(总第 227期) 函数方程的一些解法 (华中师范大学数统学院2003研 430079) 俞宏毓 寻求函数方程的解或证 明函数方程无解 式代之以一个新的变量 (中间变量)，然后找出 的过程 ，叫做解函数方程．解函数方程没有一般 函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达 的方法，但还是有一些常见的基本的解法．常见 式． 的方法有：定义法、换元法、解方程组法、赋值 例 2 已知f(2)一z+sinx，求 f(37)． 法、待定系数法、递推法、数列法、数学归纳法、 解 ：令 2= (O)，则 — log 于是， 参数法等．下面通过简单例子介绍这些解法． ，()一 (1og2)。+ sin(1og )，( O) 以 代 得 ，()= 1og~37+sinx(1og2U)， 1 定义法 ( 0)． 定义法是把所给 函数的解析式 ，通过配方 、 3 解方程组法 凑项等方法使之变形为关于 “自变量”(或 “原 象”)的表达式，然后 以z’代替 “自变量”即得函 此方法是将函数方程 的变量 (或关系式) 数 ，(．，)的表达式． 进行适当的变量代换 (有时需几次代换)，得一 个 (或几个)新 的函数方程 ，然后与原方程联 例1已知厂(L#)一丢 + ，求 立，解方程组，即可求出所求的函数． ／(‘)． 例 3 ，(z)是定义在 (O，+ 。。)的实值函 解：把解析式按“自变量”——L“#，，变 数，且，(÷)=f(37)lg37+1， ① 形 ， 求 f(37)． 半 十 解 ：以 代 z，得 l -4．-- 以 代 ，得 ，(．z)一z一z+ 1(≠ f(37)一，(÷)(一1g37)+1 ② 1) f，()一，(删gz+1 经检验知，它是原方程的解． 说明：(1)对所求得的函数 ／(‘)，必须注 ①②联立得1If37()一一fZ()(一一lgx)+十1 明定义域，否则不为所求．在本例中，因L# 消去，(÷)，得 一 1+÷≠1，所以，f(37)一z一 +1(37≠ )一 ，(z O)． 1)的定义域为 {．rIz≠ 1}． 4 赋值法 (2)解得 的函数是否为 函数方程 的解，必 须检验． 此方法是在函数定义域内，赋予变量(一个 或几个)一些特殊值，使方程化简，从而使 问题 2 换元法 获得解决． 换元法是将 函数的 “自变量”或某个关系 例 4 设 f(37)是定义在R上 的不恒等于 维普资讯 《数学教学通讯))2005