函数的单调性与周期绝世好题.doc

1.若定义在上的函数满足：对任意的有，则下列说法一定正确的是（C ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 2.设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ） A．B．C．D． 3y=f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)0； 证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)1，求x的取值范围。 4已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)=1，（1）求证：f(x)是偶函数；（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；5已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，求证：（1）函数是上的减函数；（2）函数是奇函数。 6.设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式. 7.已知函数f(x)是定义在（0，∞）的增函数，且f(xy)= f(x)+ f(y) （1） 证明：f()=f(x)- f(y) （2）已知f(3)=1， 且f(a)＞f(a-1)+2 ，求a的取值范围。 8.定义在R上的函数，当时，，且对任意的，有 （1）证明：；（2）证明：对任意的，恒有； （3）证明是R上的增函数；（4）若，求的取值范围 9、设的定义域为，且在上为增函数， （1）求证； （2）设，解不等式 10. (本题满分13分)）已知函数，且. (1) 求a的值; (2) 判断的奇偶性，并证明你的结论； (3) 函数在上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0， 试证f（x）是偶函数． 11.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）， 求证f（x）是偶函数． 12.定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。 13．设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的x的取值范围. 14已知f(x)的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3. 15.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3. 16.若定义在R上的函数满足：，则函数的周期为 17.已知函数对任意的都有，则，求证：是周期函数，并求出它的一个周期。 18 设函数的定义域关于原点对称，且满足；存在正常数使得。求证：（1）是奇函数（2）是周期为4的周期函数。 解：（1）令，则 是奇函数 （2） 是周期为4的周期函数 【总结】证函数的奇偶性和周期性，通常是用定义加以验证。 变式 19 已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减. 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(), 令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f() ∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0 ∴x2－x11－x2x1, ∴01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 【总结】对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点. 20.讨论函数在(-2,2)内的单调性。21.已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是 (　　) A．(0,3) B．(1,3) C．(0，] D．(－∞，3)22. 函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( ) A. f(x) 是偶函数 B. f(x) 是奇函数 C. f(x) =f(x+2) D. f(x+3) 是奇函数 23．f(x)是定义