函数的连续性与间断点1.ppt

* 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第六节 函数的连续性（一） 这种现象表现在函数关系上称为函数的连续性． 气温随时间连续变化；树干的高度随时间变化连续不断的长高。 自然界中有很多连续现象发生 函数的连续性表现在图像上是一条连绵不断的曲线． 1 -1 x y o y=sgn（x） * 观察图像： o x y y x 1 o 2 y x o 1 3 x = 0处无极限. * 可见 ,函数 一、 函数连续性的定义 1.定义: 的某邻域内有定义, (1) (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 且 * 例1. 证： 由定义1知： 例2. 解： * (1) 函数的增量: 即 即 * 左连续 右连续 请思考：函数在点 处连续与在点 处有极限的区别与 联系. * 说明： 2)三个连续的定义的主要作用： 常用于函数在具体点连续性的判断. 常用于函数在任意点连续性的判断. 常用于分段函数分段点处连续性的判断. 1)函数在点 处连续与在点 处有极限的区别与联系. 反之不一定成立. y x 1 o * 例4. 设 解: 解： 左连续 右不连续 例3. 试讨论函数 在 处的连续性. * (1) (2) 极限 (3) 连续必须具备下列条件: 二、 函数的间断点 的某去心邻域内有定义, 1.间断点的定义： 2.间断点的分类: 第一类间断点: 第二类间断点: 间断点 * 2.间断点分类: (1) 第一类间断点 (2) 第二类间断点 * 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: * 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . * 注意: 可去间断点只要改变或者补充间断点处函数的定义, 则可使其变为连续点. 为可去间断点 . 如 补充定义 ： 时 则函数在 处就连续了. * 3.连续函数与连续区间 定义1:在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续,该区间 叫函数的连续区间. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如: 因为 结论:基本初等函数在其定义域内是连续的. * 思考题 确定函数 间断点的类型. 解: 间断点 为无穷间断点; 故 为跳跃间断点. * 刚学过的主要内容： 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 * *