分与合共顶点两倍角问题.pdf

78 上海中学数学 ·2014年第6期 分与合：共顶点两倍角问题 430022 湖北省武汉市常青第一学校颜 国军 笔者通过对 “有公共顶点，而且其中一个角是另 一个角的一半”这类条件的问题的研究，发现解题方 法有一些共 同之处，姑且把满足这类条件 的问题称 为共顶点两倍角 问题 ． 图1就是共顶 点的两倍角： 么COD，么AOB有共同的顶点 0，且么AOB一2 ／COD．为了叙 图2 图3 述方便，把么COD称为 “小角”， 策略1：翻折．如图2 ，即将OA沿OC翻折得 么AOB称为 “大角”，可以将图 OF ，则么F( ) D=么BOD．本质上说是将小角 1看做一个基本图形． ( 么CoD) “分”成两个角，使这两个角分别等于两个 共顶点两倍角问题难就难 图1 边角料角． 在大角中扣除了一个小角之后 ，产生 了两个 “边角 策略2：旋转．如图3，即将么BOD绕着0点逆 料”的角( 么AOC，么DOB) ，虽然这两个边角料角之 时针旋转么AOB，则么COE一么BOC．本质上说是 和等于小角，但这两个角钓大小都不固定，都可以做 将两个边角料角( 么BOD和么AOC) “合并 ”成小角 ． 旋转变化，因此要设法把不固定的因素变为固定 的 下面举例说明： 条件．一般说，思想方法不外两种：合，即作 出边角料 例1 如图4 ，△ABC中，么BAC=90 。，AB— 角的和；分，即剖分小角成为两个角，使它们分别等 AC，D、E在BC上，么DAE=45。，探究BD、DE、CE 于两个边角料角． 之间的等量关系． 具体地解决共顶点两倍角问题时，主要策略有 分析 ：此题条件适应 翻折、旋转两种方法．两种方法都是通过图形变换将 基本图形，如何将等腰直 角之 间的倍数关系转化成角与角之间的等量关系 ， 角这个条件用好是关键 ， 然后利用这一等量关系构造全等或相似以进一步解 对于同一直线上的三条线B D 决问题． 段BD、DE、CE可以考虑 图 A．狐 B．狐 C．圻D．蛳 即1屉一yI +2 YI ≤狐( *) 解析 ：由I 磁I —l 碡l 一 注意到( *) 式表示的图形关于原点对称 ，所 以 商 ·魂一2 ，得商，商= 只需考虑y ≥0的情形，此时( *) 式化简为 60。，所以△OAB是边长为2 的 正三角形，不妨将点A放在z 轴 鬣 Y≤ 。妒 r 3x狐 {篇 一 斌 。 ‘· 的正半轴上( 如图2) ． 图2 作出其表示的图形，如图 、 3 ，求得其面积为2 √3 ，从而所 求区域 的面积为 “3 ．故选D． ＼ ∥ 点评：本题虽是一道准压