分段低次插值法与样条函数插值法.pdf

教案四 分段低次插值法与样条函数插值法 基本内容提要 1 样条函数插值法的基本概念 2 样条函数插值法的边界条件 3 样条函数插值法的三转角方程、三弯矩方程 教学目的和要求 1 掌握样条函数插值法的基本思想方法 2 理解利用样条函数插值法分析解决问题的基本过程 教学重点 1 样条函数插值法的基本概念 2 确定三次样条函数插值的边界条件 教学难点 三次样条函数插值函数的构造方法 课程类型 新知识理论课 教学方法 结合提问，以讲授法为主 教学过程 问题引入 分段低次插值法计算公式简单，计算量不大，且均具有收敛性。不足之处是 所构造的分段插值函数一般不光滑。如果用一个不光滑的函数去代替光滑的被插 函数，那当然是美中不足。利用三次样条函数插值，可以弥补这个缺陷 2.6.3 三次样条插值法 所谓三次样条函数 S (x) 是指一种分段函数，他在每一个子区间 [x ,x ](i 1,2,L,n ) 上是 3 次多项式，而在整个插值区间[a,b]上又是二次连续可 i−1 i 微的。 三次样条函数S (x) 在子区间[x ,x ] 上的 3 次多项式可用两种方法构造。 i−1 i 一种方法是利用被插函数在节点处的一阶导数值，记 f ′(x ) m , f ′(x ) m ， i−1 i−1 i i 这时S (x) 的表达式即上一节构造的H (i ) (x ) 。 3 1 另一种方法利用被插函数在节点处的二阶导数值，记 f ′′(x ) M , f ′′(x ) M ，这是利用构造差商表的方法，不难得到S (x) 的 i−1 i−1 i i 表达式 1 3 3 ⎛ hi2 ⎞xi −x ⎛ hi2 ⎞x −xi−1 S (x) [(x x) M (x x ) M ] y M y M , =− 1 + − 1 +⎜ 1 − 1 ⎟ + −⎜ ⎟ i i− i− i i− i− i i 6hi ⎝ 6 ⎠ hi ⎝ 6 ⎠ hi x ∈[xi−1 ,xi ],i 1, 2,L,n , 其中h 为区间长度，即h x =−x 。 i i i i−1 上述两种表达式分别叫做 m 和 M 表达式，剩下的问题是如何保证这样构造 出来的S (x) 二次连续可微，即二阶导数连续。 ′′ 以m 表达式为例，因为要求S (x) （在节