初中数学竞赛 23递推公式.pdf

初中数学竞赛辅导资料(23) 递推公式 甲内容提要 2 2 2 1．先看一例：a =b,a = ,a = …… a = 这里a ,a ,a ……a ,a 1 2 3 n+1 1 2 3 n n+1 a1 a2 an 是对应于正整数1，2 ，3……n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示 第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。 2 1 1 例如: 若 a =10, 则a = = ,a =10,a = ,a =10 …… 1 2 3 4 5 10 5 5 2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a 和n表示a 的形式，这可用经 1 n 验归纳法。 例如：把递推公式a =a +5改为用a 和n来表示 n+1 n 1 ∵a =a +5, ∴a =a +5=(a +5)+5=a +2 ×5， a =a +5=(a +2 ×5)+5=a +3 ×5 2 1 3 2 1 1 4 3 1 1 …… ∴a =a +(n-1)5 n 1 如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19 ×5=105 3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。 乙例题 例1.已知：a =2, a =a +2(n-1) (n ≥2) 求：a 的值 1 n n-1 100 解：a100=a99+2 ×99 =a98+2 ×98+2 ×99 = …… =a1+2 ×1+2×2+2 ×3+……+2 ×98+2 ×99 (1 99) 99   =2+2 × =9902 2 又解：a =a +2 ×1 2 1 a =a +2 ×2=(a +2 ×1)+2×2 3 2 1 a =a +2 ×3=(a +2 ×1+2×2)+2 ×3 4 3 1 …… a =a +2 ×1+2×2+2 ×3+……+2 ×99 100 1 =2+2(1+2+3+ ……+99)=9902 n 例2. 已知：x =97, 对于自然数n1, x = 求：x x x ……·x 的值 1 n 1 2 3· 8