初等函数w=cosz的映射特性.pdf

维普资讯 2008年 lO月 重庆文理学院学报 (自然科学版) OcL ．2008 第27卷 第5期 JournalofChongqingUniversityofArtsandSciences(NaturalScienceEdition) VoL27 No．5 初等函数 W =COSZ的映射特性 陶克勤 (重庆文理学院 数学与统计学院，重庆 永川 402160) [摘 要]本文在讨论函数w =cosz单叶性区域的基础上，研究其基本映射特性，给出了简单 的竖直直线与水平直线的映射特性 ，进而获得 了w ：COSZ所实现的特殊的区域间的映射． [关键词]共性映射 ；映射特性；区域映射 ；单叶性区域 [中图分类号]0174．5 [文献标识码]A [文章编号]1673—8012(2008)05—0074—05 定义在实数集上的函数，一般可以通过其图像研究其性质．对于复变函数，由于其 自变量与因变 量都是在平面上，没有像实变函数一样方便的几何模型，因而研究复变函数的几何特性一般采用映射 的方法．在理论上，对于解析函数所能实现的单连通区域间的共形映射有黎曼定理作保证，但对于具 体复变函数的映射特性，仅讨论了少数一些简单函数，如幂函数、指数函数、对数函数和分式线形函数 等．即便这样，也为研究复杂区域间的映射带来了极大方便；因而讨论更多具体的复变函数的映射特 性，对于研究区域问的映射有着重要的作用． W=COSZ是一个初等函数，但 已有文献对其映射特性没有进行深入研究．本文在复数的3种表示 形式基础上，从W=COSZ的定义人手，通过其双曲形式，找到在该函数下 自变量和因变量之间的实对 应关系，从而在讨论该函数单叶性区域的基础上，讨论其基本映射特性，给出简单的竖直与水平直线 的映射特性的两个定理；再根据这些基本映射特性，获得W=COSZ所实现的特殊区域间的映射特性． 1 =COSZ的定义式与双曲函数表示 i … ； 一； 定义lIt规定co=一e去旦-，sinz= — ，分别称为 的余弦函数与正弦函数． 二 二 l 在定义 1的基础上，有：COS(Zl+Z2)=COSZ1COSZ2一sinzlsinz2；令 zl=X，z2=iy，有：COS(~+iy) = cosxcosiy— sinxsiniy ． 2 一 z — 定义2E 规定：coshz=—} ，sin = ：-一旦_，分别称为z的双曲余弦函数与双曲正弦函数． 二 二 由定义2有 ：cosiy= =coshy，siniy=_e =isinhy， 二 二 J 进而得至0：COS( +iy)=cosxcoshy—isinxsinhy． (1) 在讨论W=COSZ的具体映射之前，分析该函数的单叶性区域．由定义 1，要使其在不同的两点 。， z2有相同的值，即c0sz1：COSZ2，有：(e 一e)(1一e e )：0，解之得e =e ，即z1一z2：2n盯， z+，=2nrr(n=0，±1…)，从而 与2nrr± (n=0，±1…)有相同的值．特别地，当n=l时，有： COS(2叮T+z)=COSZ，cos(2盯一z)=COSZ． 这样 ，有如下定理成立 ： 定理 1 (1)W=COSZ是一个多叶函数 ；(2)一仃Rez 是 w=COSZ的一个单叶性区域． 证 明 [收稿 日期]2008—07—15 [作者简介]陶克勤(1985一)，男，重庆巴南人