利用三角方程asinx+bcosx=c有解的条件解题.pdf

维普资讯 高中数学教与学 2D02 年 * * * * * -ht * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 出 车 牢 车 等： I * * * * * * * * * * * * * {} * * * * * * * * * * * * * 江苏省翔宇教育集团宝应县中学 胡定芳 二角方 程 nsin +bcos = C有 解 的充 要 条件 是 I1赢 I1lpa2+b≥C2 利用这一结论 ，可简捷地解决一些三角 函数 问题 ． 一 、 求有关三角 函数 的值域或最值 例 1 求函数 Y= 3sin(z+20。)+sin( +80。)的最大值 解 Y= 3sin( +20。)+sin( +20。+60。) =—sin(+20。)+v_cos(1r1+20。)． 由()+㈢ ≥y2,得一 ≤≤ ． 故函数的最大值为 3． 例 2 求 函数 Y= sinz+3sinzCOS +5cos2z的值域 ． 解 由 Y= sin2 +2cos2 +3，得 3sin2x + 4cos2x = 2y 一 6． 由 3 +4 ≥ (2 一6)2得 ≤ Y≤ 11 ． 故函数的值域为[1，]． 例 3 求函数 ： 的最小值 ． I — SIn 、 解 函数可化为 cos —ysin95=2～ ， · 24 · 维普资讯 第 JJ朝 高中数学教与学 由1+(一 )≥(2一 )，得 ≥云． 故函数的最小值为寻． 二、确定参数的值或范 围 例 4 若存在实数 0，使方程 2x 一4xsin0+3cos0=0成立 ， 求 的值 ． 解 将原方程化为 0的三角方程为 4xsin0—3cos0=2x ． 由(4 )+ (一3)≥ (2x)，得 4x 一16x 一9≤ 0，解得 一 半 ≤ ≤3 ． 三 、求解可化为三角函数的有关函数 问题 例 5 求 函数 ：— + 二 的最小值 ． 1+ 0 1一 分析 由函数式得 1z 1≤ 1且 ≠ 0，可用三角代换 ． 令z=sin，0El一号，号j，且0≠o，则题设函数可化为 2+ sin 0 l— COS0 ； +— 一 2+ sin 0 sin 0 2+ 2sin 0 — 1+ COS0 。1+ COS0 — 1+ COS0 ‘ 下面按照例 2的方法即可求得题设 函数 的最值 ． 例 6 如果点 ( ，)~NI(x一2) +y2= 3上运动 ，求 的最 大值 ． ， 分析 本题只要令 =2+~F3cos0， =,／3sin0．求 的最大 值问题就转化为求 函数 ，()= 的最大值问题 ． 例 7 若 a，bER，A = {( ，)1 = ”， =na+b， Ez}， B = {(z，)1 ： ”z， =3m +15， Ez}，C= {(