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习题 5− 1 2 1. 利用定积分定义计算由抛物线 y=x + 1, 两直线 x=a 、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面 积. b − a 解 第一步: 在区间[a, b] 内插入n− 1 个分点x i = a + i (i= 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n− 1), 把区间[a, b]分 n b − a 成 n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: ∆x i = (i= 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n). n b − a 第二步: 在第 i 个小区间[x , x ] (i= 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n)上取右端点ξ = x = a + i , 作和 i− 1 i i i n n n b − a 2 b − a S n = ∑f (ξ i )∆x i = ∑ [(a + i) +1] ⋅ i=1 i=1 n n b− a n 2 2a(b− a) (b− a)2 2 = ∑[a + i+ 2 i +1] n i=1 n n (b − a) 2 2a(b − a) n(n +1) (b − a) 2 n(n +1)( 2n +1) = [na + ⋅ + ⋅ + n] n n 2 n 2 6 2 a(b − a)(n +1) (b − a) 2 (n +1)( 2n +1) = (b − a)[a + + +1] . 2 n 6n