利用导数巧解三角函数题.pdf

高中数学教与学 2015叠 。解题思路与方法。 利用导数巧解三角函数题 李文东 (广东省中山纪念中学，528454) 导数是研究函数性质的一个很重要的工 解法2 由2sinO／+COSO／=一 平方得 具 ，利用导数可以很容易解决函数的极值 、最 4sin +4sin 5~cos +COS2O／= 5sin + 值和函数的单调性等问题，其 中，当然也包括 5cosO／．即 三角函数的相关问题．但 由于教材上导数 出 si’nO／一4sinO／COS +4cosO／= 0． 现在三角函数 的后面，且新课标降低了对三 也即 (sin 一2cosO／) ：0， 角函数的要求 ，解三角方程和三角不等式又 从而 sin =2cos ， 是学生学习的难点，利用导数并不能带来实 故 tan ： ：2． 质的好处 ，从而限制了导数这一工具在三角 COS 函数中的作用．然而 ，我们若能注意到三角函 以上这两种解法都是常规解法 ，虽然不 数的特殊性，适时的运用导数这一工具，则往 难想到，但是运算量都比较大，下面给出导数 往能够达到意想不到的效果．本文略举几例 解法： 加 以说明． 解法 3 令 -厂()=2sin +COS = 一 、 三角函数求值 √5sin(+ )，由2sinOt+COSO／：一√s，知 我们知道，形如Y=Asin((￡，+ )+k(Y _厂()在 =O／处取得最小值 ，于是_厂 (O／)= =Acos( + )+k)的三角函数，()对称性 2cos —sin =0，从而 sina=2cos ，故 有其特殊性 ：对称轴 =‰处必为极 (最)值 tan ： ： 2． 点，从而／(。)=0．注意到正(余)弦型函数 COS 与生俱来的这一属性，有时能简化三角函数 评注 导数解法是通过观察 2sinO／+ 问题的求解过程． COSO／=一√S的特征，从而构造函数 )= 椤01 已知2sinO／+COSO／=一√5，贝0tanO／ 2sin +COS ，几乎可以口算 出结果，可谓别 出心裁 ! 解法1 由2sina+COSO／=一√s，得 例 2 如果函数Y：sin2x+acos2x的图 CO8 = 一 一2sinO／． 象关于直线 =一詈对称，则n=一 又 sinO／+CO$O／=1，得 解 法 1 函数 的解析 式 可 化 为 Y = sina+(一√一2sin ) =1， n+1sin(2x+ )，故 lYl的最大值为 于是 5sinO／+4 sino／+4=0， 即 (~-sinO／+2)=0， ． 依题意，直线 =一詈是函数图象 解得 sin =一2 从而 c。s =一i