利用复数知识解竞赛题.pdf

2016年第 1期 15 利用复数知识解竞赛题 声 学 谦 芦 宏 甍 (山东省泰安市第一中学，271000) 中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2016)01—0015—02 复数知识内涵丰富，博大精深．它沟通了 代数、三角、几何等学科间的联系，也为解题 口= 2 。s 者应用复数知识解决相关问题指明了方向． b9g。 =I。I。= 本文通过一些实例解答有关的竞赛题， 供读者参考． = [2c0s 1 在代数中的应用 其中，2k+13n，k∈Z+． 例2 设a，bl，62，…，b，C1，c2，…，c ∈R， 例 1 设 n为给定的正整数．求所有正 使得 数0、b，使得 +agg+b为aog+(agg+b) 的 戈+n∑ +1=Ⅱ(+6+cf) 因式． (1992，上海市高中数学竞赛) 对任意实数 均成立．求c，c，…，c的值． 解 设 0为 +agg+b=0的根． 解 先证 明一个引理． 由6O，知 ≠0，且 0也为 引理 设p()= + ∑名+1．则多 +(ax+b) ：0 项式p(z)在上半单位圆周上至少有 1／,一1个 的根． 复根． 故似 +(o+b) = 02+(一 ) 证明 事实上，若p(z)=0，则 2 +x4 ： o = 0 一 0 ： ． n+ ：0 三… 一 2n 、—已， ’ = =一口--a(cos丁c+isin7c) ． = c【os +isin 】 故一口： 其中，k=0，1，…，2n一1． 一 (：：± ：：：)(二 ：) 2 _。一 一 (2 一1) ‘ 另一方面，由求根公式知 取 =e ，得 一 ±√ 6—02i o — — — — — — 一 · 2cos2nO·sin0 sin(2n+1)0 1 币 ‘ 故 cos n =一詈Z 只需证 ：对每个实数o，关于0的方程 flo)=sin(2n+1)+(a-1)sin(2n-1)0=0 j c。s 0 在区间fo，孚1上至少有一1个