剪应力互等定理的一种证明方法.pdf

90 JOURNALOFXIAN MINING INSTITUTE 19924第1期 ． }。／fI 剪应力互等定理的一种证明方法 _——．_··。一 ，吁l (基础部) 西 捕 娶 孑 安 本文根据应力张量定叉，利 用张量计算规则厦有关规定，给出剪应力互等定理 足 矿 的证 明。 侈 业 关键渭：应力向量，应力张量 ，平衡条件 ， 学 剪应力互等定理是 《壁凌学的一个基本定理。它在理论推导和力学i}算中具有相当重要 剧 院 的作用和十分广泛的用途 。通常对其证明，大多都采用微六面体的矩矢平衡条件 进行推证 ， 方法简便 ，形式简单 ，但没能给出其成立条件。本文利用张星运算法则及应力张量及平衡等 概念，进行推证 ，同时也将给出剪应互等的 成立条件 。 “ 若变形体在力矢作用下处于平衡状态 。 设截面m—m上，过丝点的A 面积上有内力矢 △P内力矩矢△L (如附图)，则M点的应力 向量定义为 A^一：口-凸A酱uA 图1 内力*和 内力矩矢 应力偶 向量定义为 茁 = = A^一 凸 n u A 应力张量定义为 g = T 或 T o · 式中 g 为 基向量’ g“为度量张量。 若变形体的体积为口，表面积为∞，则平衡条件可表示为 + j 。 (1) 率文1091年0月5日收到 第i期 韩江水 剪应力互等定理的一种证明方击 §1 r x d =0 (2) 及及 Jf ((r××ppF十+五n))d00++J x d∞=0 o 在 (I)式两端点乘单位 向量n f pj． 0+f ¨．ad=0 (3) 利用积分散度定理 』(v． 口：』 。： ． (3)式中的第二项可变为 ． J。 ．ad：J。 ··a一d ： f ( ．)．d∞ ： f ( ‘)．d fdiv(．)d口 J ．．． div 0 =0 ^ ●‘ Jj -．m=Jf．div ·口 故 (3)式简化为