勾股定理及全等三角形.doc

（2009?河西区二模）如图，已知点D在AB上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点．（1）求证：BMD为等腰直角三角形．（思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N，构造CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以证明BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底边的中线就可以了．）请你完成证明过程：（2）将ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图所示位置），BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 考点：等腰直角三角形；平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）延长DM交BC于N，根据平行线的性质和判定推出DEM=∠MCB，根据ASA推出EMD≌△CMN，证出CN=AD即可；（2）作CNDE交DM的延长线于N，连接BN，根据平行线的性质求出E=∠NCM，根据ASA证DBA≌△NBC，推出DBN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出BMD为等腰直角三角形． 解答：（1）证明：延长DM交BC于N，EDA=∠ABC=90°，DE∥BC，DEM=∠MCB，在EMD和CMN中 DEM＝NCM EM＝CM EMD＝NMC ，EMD≌△CMN，CN=DE=DA，MN=MD，BA=BC，BD=BN，DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，BM⊥DM，DBM= 1 2 ∠DBN=45°=∠BDM， BMD为等腰直角三角形．（2）解：BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，证明：作CNDE交DM的延长线于N，连接BN，E=∠MCN=45°，DME=∠NMC，EM=CM，EMD≌△CMN（ASA），CN=DE=DA，MN=MD，在DBA和NBC中 DA＝CN DAB＝BCN， BA＝BC DBA≌△NBC，DBA=∠NBC，DB=BN，DBN=∠ABC=90°，DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，BM⊥DM，DBM= 1 2 ∠DBN=45°=∠BDM，BMD为等腰直角三角形． 点评：本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度适中． （2010?拱墅区一模）如图，长方体的底面是边长为1cm?的正方形，高为3cm．（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少cm？（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要 73 73 cm．（直接填空） 考点：平面展开-最短路径问题． 专题：探究型． 分析：（1）把长方体沿AB边剪开，再根据勾股定理进行解答即可；（2）如果从点如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3，再根据勾股定理求出斜边长即可． 解答：解：（1）将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB= 42+32 =5cm；（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3，根据勾股定理可知所用细线最短需要 82+32 = 73 cm．故答案为： 73 ． 点评：本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出图形，（2009?临夏州）如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2． 证明：（1）ACB=∠ECD，ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即BCD=∠ACE．BC=AC，DC=EC，ACE≌△BCD．（2）ACB是等腰直角三角形，B=∠BAC=45度．ACE≌△BCD，B=∠CAE=45°∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，AD2+AE2=DE2．由（1）知AE=DB，AD2+DB2=DE2． 2013?沈阳）如图，ABC中，AB=BC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD= 2，求AD的长． 考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理． 分析：（1）先判定出ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明ADC和BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证；（2）根据全等