勾股定理及全等三角形.doc

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勾股定理及全等三角形

(2009?河西区二模)如图,已知点D在AB上,ABC和ADE都是等腰直角三角形,ABC=∠ADE=90°,且M为EC的中点. (1)求证:BMD为等腰直角三角形. (思路点拨:考虑M为EC的中点的作用,可以延长DM交BC于N,构造CMN≌△EMD,于是ED=CN=DA,即可以证明BND也是等腰直角三角形,且BM是等腰三角形底边的中线就可以了.)请你完成证明过程: (2)将ADE绕点A再逆时针旋转90°时(如图所示位置),BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由. 考点:等腰直角三角形;平行线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质. 专题:证明题. 分析:(1)延长DM交BC于N,根据平行线的性质和判定推出DEM=∠MCB,根据ASA推出EMD≌△CMN,证出CN=AD即可; (2)作CNDE交DM的延长线于N,连接BN,根据平行线的性质求出E=∠NCM,根据ASA证DBA≌△NBC,推出DBN是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质即可推出BMD为等腰直角三角形. 解答:(1)证明:延长DM交BC于N, EDA=∠ABC=90°, DE∥BC, DEM=∠MCB, 在EMD和CMN中 DEM=NCM EM=CM EMD=NMC ,EMD≌△CMN, CN=DE=DA,MN=MD, BA=BC, BD=BN, DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线, BM⊥DM,DBM= 1 2 ∠DBN=45°=∠BDM, BMD为等腰直角三角形. (2)解:BMD为等腰直角三角形的结论仍成立, 证明:作CNDE交DM的延长线于N,连接BN, E=∠MCN=45°, DME=∠NMC,EM=CM, EMD≌△CMN(ASA), CN=DE=DA,MN=MD, 在DBA和NBC中 DA=CN DAB=BCN, BA=BC DBA≌△NBC, DBA=∠NBC,DB=BN, DBN=∠ABC=90°, DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线, BM⊥DM,DBM= 1 2 ∠DBN=45°=∠BDM, BMD为等腰直角三角形. 点评:本题综合考查了等腰直角三角形,等腰三角形的性质和判定,平行线的性质和判定,全等三角形的性质和判定,此题综合性比较强,培养了学生分析问题和解决问题的能力,类比思想的运用,题型较好,难度适中. (2010?拱墅区一模)如图,长方体的底面是边长为1cm?的正方形,高为3cm. (1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少cm? (2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,那么所用细线最短需要 73 73 cm.(直接填空) 考点:平面展开-最短路径问题. 专题:探究型. 分析:(1)把长方体沿AB边剪开,再根据勾股定理进行解答即可; (2)如果从点如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3,再根据勾股定理求出斜边长即可. 解答:解:(1)将长方体展开,连接A、B, 根据两点之间线段最短,AB= 42+32 =5cm; (2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B, 相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3, 根据勾股定理可知所用细线最短需要 82+32 = 73 cm. 故答案为: 73 . 点评:本题考查的是平面展开-最短路线问题,根据题意画出图形,(2009?临夏州)如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证: (1)ACE≌△BCD; (2)AD2+DB2=DE2. 证明:(1)ACB=∠ECD, ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE, 即BCD=∠ACE. BC=AC,DC=EC, ACE≌△BCD. (2)ACB是等腰直角三角形, B=∠BAC=45度. ACE≌△BCD, B=∠CAE=45° ∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°, AD2+AE2=DE2. 由(1)知AE=DB, AD2+DB2=DE2. 2013?沈阳)如图,ABC中,AB=BC,BEAC于点E,ADBC于点D,BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF. (1)求证:BF=2AE; (2)若CD= 2,求AD的长. 考点:全等三角形的判定与性质;勾股定理. 分析:(1)先判定出ABD是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD,再根据同角的余角相等求出CAD=∠CBE,然后利用“角边角”证明ADC和BDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF,从而得证; (2)根据全等

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