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北邮随机信号分析与处理第1章1.4习题解答
1.4 设有随机变量 和 ，求 和Z X / X 的概率密度。
X X Y X X
1 2 1 2 1 2
解法一：
Y Z
思路：通过引入辅助变量，分别求出 和 的概率密度。
Y
(1) 求 的概率密度
设Y X , Y Y X X
1 1 2 1 2
x x
1 1 1 0
x y
对应的反函数为单值函数1 1 ，J y 1 y 2 y 2 1 1
x y / y x x
2 2 1 2 2 2 y 1
y 1 y 1
y 1 y 2
根据多维随机变量函数的分布，得
1
f (y ,y ) f (x ,x ) J f (y ,y /y )
Y Y 1 2 X X 1 2 X X 1 2 1
1 2 1 2 1 2
y 1
由联合概率分布积分得到边缘概率分布
1
f (y ) f (y ,y )dy f (y ,y /y )dy
Y 2 Y Y 1 2 1 X X 1 2 1 1
2 1 2 1 2
y 1
将上式中的积分变量 替换为 ，得
y1 u
1
f Y (y ) f X X (u ,y /u )du
1 2
u
Z
(2) 求 的概率密度
设Z X , Z Z X / X
1 1 2 1 2
x x
1 1 1 0
x z
对应的反函数为单值函数
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