北邮_复变函数课件_第一章--1.ppt

第一章 复数与复变函数 §1-3 复数及其运算 主要介绍关于复数的基本概念，包括复数的定义、表示方法、运算法则、基本不等式的应用 二、 复数的表示方法 乘幂与方根 扩充复平面与复球面 课堂练习 课堂练习 两边平方得 另证： 可以推得: n 次方根 从几何上看, 例 解 例 解 例 解 故原方程可写成 故原方程的根为 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数. 球面上的北极 N 不能对应复平面上的定点，但球面上的点离北极 N 越近，它所表示的复数的模越大. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而, 球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 包括无穷远点的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. 球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应, 这样的球面称为复球面或Riemann球面. * 教 师：李叶舟 “复变函数论”是研究自变量为复数的函数的基本理论及应用的数学分支. 世界著名数学家 M.Kline指出：19世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。 16世纪，解代数方程时引入复数(笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈) 17世纪，实变初等函数推广到复变数情形 18世纪，逐步阐明复数的几何、物理意义。（达朗贝尔，欧拉） 20世纪 19 18 17 16 历史背景 19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质 20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。 空气动力学 流体力学 电学 热学 复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、 理论物理等领域有重要应用（“*”内容）。 复变函数论 我们的主要任务是学习单值解析函数的基本 性质、运算,包括微分、积分等。 一 复数的概念及表示法 定义:设复数 复数 则 复数相等 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等（求解复方程的基础） 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数, 共轭复数 （1）两个复数的和与差 （2）两个复数的积 （3）两个复数的商 全体复数并引进上述运算后就称为复数域， 常用C表示。 推导运算（3） 复数运算的性质 例 1 解 （1）定义表示形式 （2）复数的平面表示法 显然成立： （3）复数的向量表示法 注意：复数与向量的一一对 应使复数的加减运算与向量 的加减运算保持一致 和与差的模的性质 共轭复数的几何性质 例 证明式(1)成立 注意 1 辐角不确定，没有辐角. 注意 2 复数辐角的定义 辐角主值的定义 例2 求下列复数的幅角 即 注：非实数的复数不能比较大小，但模可以比较大小 。 定义:设复数 复数 则 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 （4） 复数的三角表示法 利用Euler公式 （5） 复数的指数表示法 例 2 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 例 2 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故 故 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. n 个复数相乘的情况: 例7 n 次幂 de Moivr 公式 例 解 同样， 于是 例 解 , 3 cos 3 sin ), 3 1 ( 2 1 2 1 p p i z i z - = - = 已知 对于非零复数有： 总结：