单位圆-三角函数的金兰之友.doc

单位圆:三角函数的金兰之友 一、新旧教材的对比 1.定义的差别 新教材“任意角三角函数”（人民教育出版社a版，必修4第一章），其三角函数采用如下的定义（姑且称这个定义为“单位圆定义法”）： “设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p（x,y），那么 ①y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y； ②x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x； ③■叫做α的正切，记作tanα，即tanα=■（x≠0） 可以看出，当α=■+kπ（k∈z）时，α的终边在y轴上，这时点p的横坐标x等于0，所以tanα=■无意义。除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的。所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 老教材对“任意角三角函数”的定义（姑且称这个定义为“终边定义法”）：“在角α的终边上任取一点p（x,y），p到原点的距离为r，比值■，■，■分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数。” 2．教学内容安排的差别 新教材利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。这个定义表明了正弦函数、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系，而坐标定义法只是作为例题的形式让学生自己去证明。老教材由锐角三角函数推广到任意角三角函数，体现特殊到一般，易于学生接受，然后再特殊化到单位圆定义法。两者教学的顺序刚好相反，教学内容的侧重点也有所不同。 二、在实际教学中的教师处理方式 大多数教师在刚开始接触新教材，教学“任意角三角函数”定义这节时，觉得老教材的处理方法（由初中的三角函数过渡到任意角三角函数）比较自然，上课时仍然采用“终边定义法”，而对“单位圆定义法”则点到为止，未体会到新教材中单位圆定义法的作用与地位。这样处理这节内容，虽然也完成了教学内容，但是笔者认为有悖于新教材的设计意图,显得有点本末倒置。因为新教材对“任意角三角函数”的定义采用“单位圆定义法”的目的旨在体现它在三角函数中的重要地位，而非仅仅是“终边定义法”的一种特例。 三、对新教材“任意角三角函数”的定义的解读 1．老教材的优缺点 优点：老教材在对任意角的三角函数下定义时，以学生的原有知识——锐角三角函数为生成点，以比值法为切入点，进一步到“终边定义法”，将它很自然的纳入到学生原来的知识结构中去，这种定义方法能够表现出从锐角三级函数到任意角三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有的认知基础出发学习三角函数，贴近学生的思维，易于学生接受新概念。为了使形式更简单、实用，将“终边定义法”特殊化为“单位圆定义法”，学生不会觉得突然。 缺点：它对准确把握三角函数的本质。从“角的集合到比值的集合”的对应关系与学生所熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解。同时对于解读三角函数的图像、性质、一系列三角公式等也不如利用单位圆来得方便，且便于学生理解。 2．对新教材的理解 （１）单位圆与三角函数的关系 对于任意角α，它的终边与单位圆的交点p（x，y）是唯一确定的，所以采用“单位圆定义法”定义任意角的三角函数是符合函数的基本定义的。同时用这种方法表示任意角的三角函数形式上也非常简单，正弦是纵坐标y余弦是横坐标x（sinα=y，cosα=x），反之，x=sinα，y=cosα是单位圆的自然的动态描述。同时由于单位圆的半径为1，在采用弧度制后，这样角的大小就可以用弧长来表示，为以后的三角函数图象的描点法打下了很好的基石。因为“单位圆定义法”充分利用了单位圆上点的横坐标、纵坐标，并且圆是一个具有很好对称性的图形，由此我们想到正弦函数、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（特别是对称性）的解析表述，所以利用单位圆使三角函数反映的数形关系更具体，为后面诱导公式的推导以及三角函数图象性质的研究奠定了很好的基础。单位圆上的点的坐标随着角α每隔2π（即一个圆周长）而重复出现，非常直观且又很形象地显示了三角函数的周期性，也使单位圆中的三角函数线与三角函数定义有了更直接的联系，从而使我们更方便地采用数形结合的方法来解决三角函数的有关问题。反之，正弦、余弦又是圆的参数形式的代数静态描述，为圆的参数方程作了铺垫。 （２）“单位圆定义法”使三角函数性质变得更简单 “单位圆定义法”以单位圆作为研究的平台，使自变量α与坐标x、y的对应意义显得非常直观而具体，使三角函数的诱导公式及性质等显得更自然、更富有活力、更丰满，下面具体罗列之（主要讨论正弦、余弦函数）。 设角α的终边与单位圆交于p（x，y） ①定义域、值域：由于α的终边与单位圆有交点，且只有唯一的一个，从而符合函数定义，使x=sinα，y=cosα变成了以α