单位园外单叶调和函数的讨论.pdf

第 22卷 第 1期 延安大学学报 (自然科学版) Vo1．22 No．1 2003年 3月 JournalofYanan—University(Natur—alScienceEdition) March 2003 单位园外单叶调和函数的讨论 侯明书，贺小林 (延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000) 摘 要：采用变换的方法，把单位园盘外部变换成单位园盘内部，来讨论单叶调和函数，得到一系列 新的结果． 关键词 ；单叶调和函数；变换 ；奇异性 中图分类号 ：0174．51 文献标识码：A 文章编号：1004—602X(2003)01—0010—04 0 前言 设厂是一个复值定向调和函数，单叶写像 一 {IzJ 1)并且 厂(。o)一∞，在文献E1]中引理 3．1使厂 规范化，给出表示式 ： 厂()一 +h()+丽 +AlnIzJ， ∈ (1) 其中^()= +∑ ～，g()=∑b,z 在 内解析，A∈C，这种函数的全体记为∑ 对于∑ 中函数不是对数奇异的沿着族∑ 定义： ∑ ={厂∈∑ ，A=0) (2) 对于不为零的函数族： ∑ 一If—C；f∈∑ 和C各Jf()) (3) 这样，把单位园盘U内的调和单叶映射扩大到单位园盘外 的调和单叶映射了，更加丰富了调和单叶函 数的内容．并在文 [1]中给出一系列结果． 例如在文 [13中的定理 3．2给出： 若厂()∈∑H，则有： IAI≤2， It,I≤1 (4) 若厂()∈∑Ⅳ，当A=0时，则有： Ib。J≤1， Ib。J≤专(1一Ib。J。)≤告 (5) 在文 [1]定理 3．4中给出： ， 若厂∈∑三，，则If()J≤ ，∈，厂()包含集{：IWI }和ICI≤16 (6) 在文[1]定理3．7中给出：若f∈∑Ⅳ，则ckf(u)的直径Df满足 Dt≥2J1+b。J (7 这个估计是优的，对于厂()=+譬+AInII． 对应到古典的面积定理在文[1]定理 3．8中给出： 若f∈∑ ， 则有： ∑惫( 。一 Iz≤1+2Reb。 (8) ^皇 1 其中等号出现设仅设C＼厂()有面积为零． 我们在此列出部分结果，说明在 内调和单叶函数 内容很丰富，是我们研究调和单叶函数的一个重要部 分．在此文中，我们将用另外一种方法来研究它 ． 收稿 日期：2001--09—2O 作者简介；侯明书 (1930一)，男，陕西华县人 ，延安大学教授。 第 1期 侯明书 ，贺小林 ；单位园外单叶调和函数的讨论 11 1 另外处理方法 若厂∈∑ ，在文[1]中有表示式 厂()一 +∑口一+∑bkz一+AlnII， ∈ (9) 其中A∈C． 在上式中，我们用连续一对一的对应 代替 ，就可以把 变换成 ，【，这样即有： 厂()= +^()+ 一AlnII，∈U (10) 其中^()=∑ ，g()=∑b 在U内解析，A∈C． 因在(9)式中厂()∈∑ ，用了一个连续一对一的变量代换 在(9)中代替 得(10)，这种变换在函数 论中已经说明它不会改变函数在原点和无穷远点的奇异性，显然也不会改