单位球上对数权Bloch型空间的复合算子.pdf

第44卷第瑚 数 学 进 展 V01．44．No．4 2015年7月 ADVANCESINMATHEMATICS(CHINA) July，2015 单位球上对数权 Bloch型空间的复合算子 张学军 ，关 莹，李 敏 (湖南师范大学数学与计算机科学学院，长沙，湖南，410081) 摘要：设 1，tt在单位球 B上全纯， 是B 上的全纯 自映射．本文分别给出了B 中从 L 到 的加权复合算子 G 为有界算子和紧算子的简捷充要条件． 关键词：有界性；紧性；加权复合算子；Bloch型空间；单位球 MR(2010)主题分类：47B38／中图分类号：O174．56 文献标识码：A 文章编号：1000—0917(2015)04—0553—09 0引言 设 B是单位球，D是单位圆，H(B)表示 B上的全纯函数全体，H。。表示B上的有界全纯 函数类；dv为标准体测度，满足 dv(z)=1． 设 0，—Bloch型空间 。和对数权 Bloch型空间 分别定义如下： 。 = {，：f∈H(B)且lifrr。=I，(0)I+sup(1一lzl)IVf(z)l。。}， {，f日B()且ii／IJL=IfO()l+sup(1- (1n )l)I。。)， 这里，复梯度Vf()=( ()，8of_(z)，… ，8of(z))． 。 设 7-1和 P0，B上加权 Bergman空间定义如下： f：fcHB()且ll，ll( )p1dv~㈤)∞)】 这里 dv1()=c，y(1一Izl)1 (2)，常数 c满足 dv(z)=1．当7=0时， 就是 Bergman 空间Ap． 设 ∈日(B)， 为 B上的全纯 自映射，X和 y为两个全纯函数空间，则X到y的加权复 合算子 G 定义如下： (，)= ，o ∈ ，∈X． 当u(z)=1时就是复合算子 c ；当 (z)= 时就是乘子算子 M ． 20世纪 90年代，Madigan和Matheson在 [3_4]中研究了D上 Lipschitz空间、Bloch空 间和小Bloch空间上复合算子 的有界性和紧性问题，他们证明了c 在Bloch空间上总是有 界的以及 ( 在小Bloch空间 上有界的充要条件是 ∈ 0等结论；接下来在 2001年，0hno 收稿 日期：2013一Ii一17．修改稿收到 日期：2014-07—02 基金项 目：湖南省自然科学基金 (No．2015JJ2095)． E—mail： xuejunttt~263．net 554 数 学 进 展 和赵如汉在 55【]中就Bloch空间和小Bloch空间讨论了加权复合算子的有界性和紧性，给出了比 较完整的结果；2003年，张学军在 1【0]中讨论了P—Bloch空间和 q-Bloch空间之间加权复合算子 为有界箅子和紧算子的条件，获得了较好的结果但 尚不完整；2007年，叶善力在 [9】中探讨了单 位圆中对数权 Bloch型空间 与OL—Bloch型空间风 之间加权复合算子的问题．至于多复变情 形，2000年，史济怀和罗罗在 [7】中将 Bloch空间的结论推广到了c 中的齐性域上；接下来周 泽华、陈怀惠、张学军、肖建斌、刘竟成、李菊香等分别在 1【-2，11，13—14】中就各种Bloch型空 间上的复合算子做了系统的讨论，给出了很好的结果，美中不足的是结果比较繁琐或者不完整． f9]中，叶善力就单复变对数权Bloch型空间给出了如下结果： 定理 A 设OL0，U在单位圆D上解析， 是D上的解析 自映射，则 f“ 是 L到 的 有界算子之充要条件为 ( (1n1n )l)I。。 且 s Z D ∈p(1一II。)L(1一l()I)lni