厦大《数理经济学》--习题.pdf

《数理经济学》参考习题 说明：以下习题主要在于帮助读者进一步理解和掌握相关的最优化方法。而对相关 数学最优化定理推导的深入理解将非常有助于对该原理的掌握，因此相关定理的证明可 以作为习题，鉴于篇幅，在习题中不再重复。另一方面，对经济学分析如何应用最优化 数学方法，建议读者进一步阅读参考文献中的相关微观经济学和宏观经济学的高级教 程。另，以下习题中相关定理和例题的编号为教材中的编号。 第一部分 非线性规划与应用 1. 如序中所提到的，目标函数和约束函数均为线性函数时称为线性规划问题，线性是非线性的一个 特例，考虑以下的线性规划问题， min : cT x s.t .: Ax ≤0 x ≥0 其中x ∈R n ，c 为n 维向量，A 为m ×n 矩阵。导出该线性规划问题的 Kuhn-Tucker 最优性条件。 2. 当非线性规划问题中的目标函数为二次函数，约束函数为线性函数时，称为二次规划问题。导出 以下二次规划问题的Kuhn-Tucker 最优性条件。 T 1 T min : a +c x + x Hx 2 s.t .: Ax b x ≥0 其中 为常数， 为 维向量， 为 a c n H n ×n 对称矩阵， A 为m ×n 矩阵。 3. 考虑以下非线性规划问题： max : x −x 1 2 s.t .: −x 2 +x ≤0 2 1 x −1≤0 1 −x ≤0 2 画图分析该问题的最优解，并讨论在最有解点是否满足 Kuhn-Tucker 条件或 Fritz John 条件。 1 4. 求解以下非线性规划问题： min : x 2 −2x x +x 2 −3x 1 1 2 2 1 s.t .: −x +4x 2 ≤2 1 2 3x +4x ≤6 1 2 x ≥0 ，x ≥0 1 2 5. 分析点x * (4,3) 是否为满足以下非线性规划问题的二阶条件的最优解： 2 2 max : x −3 + x −4 ( 1 ) ( 2 ) s.t .: x 2 +x 2 ≤25 1 2 x +x ≥7 1 2 x ≥0 ，x ≥0 1 2 6. 考虑下述含参数的非线性规划问题： min : −x −u x 1 1 2 s.t .: x 2 +x 2 ≤1−u 1 2 2 用x (u) 表示最优解，Φ(u) 表示最优值函数，利用定理 2.1.2 和定理 2.2.1 的公式计算∇x (u) ， ∇Φ(u) 在u (1,0) 和u (0,0) 的值。 7. 在例 1.4.1 中，设某消费者效用函数为， ρ ρ 1 ρ ，0 ρ 1，求出其需求函数 u(x