同济大学高等数学第六版作者答案详解1-8.pdf

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同济大学高等数学第六版作者答案详解1-8

sin x- tan x sin x(1 - sec x) (4) lim 3 = lim x→ 0 2 x→ 0 1 2 1 ( 1 + x - 1)( 1 + sin x- 1 ) x · sin x 3 2 1 2 - x 2     = lim = - 3 . x→ 0 1 2 x 6 5畅 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α~ α(自反性) ; (2) 若 α~ β,则 β~ α(对称性) ; (3) 若 α~ β,β~ γ,则 α~ γ(传递性) . 证  (1) 因为lim α = 1 ,所以 α~ α; α α β (2) 因为α~ β,即lim = 1 ,所以lim = 1 ,即β~ α; β α α β (3) 因为α~ β,β~ γ,即lim = 1 ,lim = 1 ,所以 β γ α α β α β lim = lim · = lim · lim = 1 ,即α~ γ. γ β γ β γ 习题1- 8       函数的连续性与间断点 1畅 设y= f (x)的图形如图1- 8 所示,试指出f (x)的全部间断点,并对可去间断 点补充或修改函数值的定义,使它成为连续点. 解  x= - 1 ,0 ,1 ,2 ,3 均为 f (x)的间断点, 除 x= 0 外它们均为 f (x)的可去间断点.补充定 义f ( - 1) = f (2) = f (3) = 0 ,修改定义使 f (1) = 2 ,则它们均成为 f (x)的连续点. 2畅 研究下列函数的连续性,并画出函数的 图形: 2 图1- 8 x , 0 ≤ x≤ 1 , (1) f (x) = 2 - x , 1 < x≤ 2 ; x , - 1 ≤ x≤ 1 , (2) f (x) = 1 , x< - 1 或 x> 1 . 解  (1) f (x)在[0 ,1)及(1 ,2]内连续,在 x= 1 处, 2 lim f (x) = lim x = 1 ,lim f (x) = lim (2 - x) = 1 ,又 f (1) = 1 , -

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