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同济大学高等数学第六版作者答案详解1-8
sin x- tan x sin x(1 - sec x)
(4) lim 3 = lim
x→ 0 2 x→ 0 1 2 1
( 1 + x - 1)( 1 + sin x- 1 ) x · sin x
3 2
1 2
- x
2
= lim = - 3 .
x→ 0 1 2
x
6
5畅 证明无穷小的等价关系具有下列性质:
(1) α~ α(自反性) ;
(2) 若 α~ β,则 β~ α(对称性) ;
(3) 若 α~ β,β~ γ,则 α~ γ(传递性) .
证 (1) 因为lim α = 1 ,所以 α~ α;
α
α β
(2) 因为α~ β,即lim = 1 ,所以lim = 1 ,即β~ α;
β α
α β
(3) 因为α~ β,β~ γ,即lim = 1 ,lim = 1 ,所以
β γ
α α β α β
lim = lim · = lim · lim = 1 ,即α~ γ.
γ β γ β γ
习题1- 8 函数的连续性与间断点
1畅 设y= f (x)的图形如图1- 8 所示,试指出f (x)的全部间断点,并对可去间断
点补充或修改函数值的定义,使它成为连续点.
解 x= - 1 ,0 ,1 ,2 ,3 均为 f (x)的间断点,
除 x= 0 外它们均为 f (x)的可去间断点.补充定
义f ( - 1) = f (2) = f (3) = 0 ,修改定义使
f (1) = 2 ,则它们均成为 f (x)的连续点.
2畅 研究下列函数的连续性,并画出函数的
图形:
2 图1- 8
x , 0 ≤ x≤ 1 ,
(1) f (x) =
2 - x , 1 < x≤ 2 ;
x , - 1 ≤ x≤ 1 ,
(2) f (x) =
1 , x< - 1 或 x> 1 .
解 (1) f (x)在[0 ,1)及(1 ,2]内连续,在 x= 1 处,
2
lim f (x) = lim x = 1 ,lim f (x) = lim (2 - x) = 1 ,又 f (1) = 1 ,
-
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