含根式递推数列的求解策略.pdf

2016年第4期 中学数学教学 43 含根式递推数列的求解策略 广东省梅州市梅江区嘉应中学 廖宇辉 (邮编：514000) 众所周知，线性递推式 问题 已经有 了较为成 知数 歹H { )满 足 ： I— l，an+l一 1-4． 口 -4． 熟的求解方法，如待定系数法、特征根法、不动点 ( ∈N )，则 数 列 的 通 项 a 一 法、母函数法、矩阵法等方法．而非线性递推式的 求解则是一个难点，这类递推式往往结构复杂， 解析 设 一 ，则 口一篮 没有 固定的模式可套 ，方法多姿多彩 ，因此一直 ， 是各类竞赛的热点和难点问题．其中，含根式的 故 一 ．所 以 n 一 1+ 口 + 非线性递推式在近几年的竞赛中频频亮相，应引 起足够的重视．本文就含根式的数列递推式的求 v厂 可化为醛 一1+篮 + ， 即 解方法作一些探究和分析．根据根式在递推式中 为 6_1一 -4．4b-4-4一 ( -4-2)．由b1一 的从属、主次、位置关系，常见的处理方法有：配 方法、换元法、互角法、变形法 {取对数法 平方 === 及b0，知 6 一b-4．2，故数 法、先猜后证法等。下面举例说明志． 列 {b}是 以 为首项、以 2为公差的等差数 1 配方 列，所 以 ：== -4-2(7z— 1)． 例 1 (第23届希望坏全国数学邀请褰高一 从而n一 一丢[5+ (一1)+ 第2试)在正项数歹IJ{以)中 ．粤， 4(竹一1)。一13一 (一 1)(+ 一1)-4．1． — — 1 + -4．÷，则 口2。12一 ( )一 ． 评注 此题如若直接去除根号，不利于问题 的解决．若能对根式进行整体换元，问题便化为 A．1012025 B．1012036 C．1013025 D．1013036 一 一 个等差数列问题，问题也就迎刃而解．换元法 是数学中非常重要的思想方法． 解析 因为以0，且以升一以+ +{ 3 三角换元 例 3 (第 30届 IMO预选赛)数列 以。，以1， 一 (、／／+吾)，所以 一 + ． n，…，与数列b。， ，…，定义如下： 故数列 { )是以 一告为首项、以 。 一 ， 一 0一 ，arr~l一 l一丽1一 ，，bOoo一l1，’ 去 为公差 的等差数列．所 以 、／／口 一 去 -4． 一 土 一0，1，2，…)． (一1)x专一号，所以日 ．所以aBo．z一 证明：不等式：2 n 2 ． 士‘ 一 1012036，故选 B． 证明 因为 。一 ===sin吾