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四元数方阵的拟行列式及拟特征多项式
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安徽大学学报(自然科学版)Jo,anal0fAnhuiUrdve~ityNaun~l Edi吐onNo.21994
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四元数方阵的拟行列式及拟特征多项式 /
(安徽大学数学系台肥 u0f 、‘’
藁 230039)
摘 要 本文对任意四元数方阵A;f进拟行列式脚 A和拟特征多项式 ‰()的概念,
并证明:(1)‰()恒为实系数多项式;(2)‰(A)一0}和(3) ()的每个零点都是A的—个右
特征值。
埠 僦 多项式,栅~ 定理’嘉呼
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中圈分类号 . 青 蕾
彦
, .
因四元数体Q的乘法不可换,故四元数矩阵的行列式不能按经典方式定义。鉴于行
列式工具对研究矩阵论的特殊重要性,人们设法为四元数方阵定义行列式使之保持或尽
可能类似于经典行列式的各种有用性质(见文口]一[4])。本文建睛这—方向建立四元数
方阵的拟行列式及有关概念,并以此为工具讨论四元数矩阵论的有关基本问题。
四元数 qEQ可用两个复参数u,v6C表示为q—u+川,其中J满足 一一1.
k— 一一,i为复数域C中的虚数单位。令
m )一 (1)
所得从Q到c 的映射f对今后有基本重要性。易证:f是保持加法、实效的数乘和乘
法运算的—个单射,即f是单射环同态和实数域R上的向量空间同态。对 A一(a一)∈
O ×n),令
()一 (,( )) (2)
所得映射 F:Q x一c∞x)也是保持加法和实数数乘的单射,并且对A∈O D,B∈
Q 有F(AB)一F(A)F(B),因此,FtQxJ1)—吣 n×)是单射环同态,我们把它称为基本
映射}把F(A)的行列式 det(F(A))∈c称为A6Q I.)的拟行列式,记为qdetA。
拟行列式保持行列式的一些重要性质,例如:A6Q n)是可逆的当且仅当qdctA≠
O;对任意A,B6Q(…)有Oct(AB)=qdet(A)qdet(B)I准三角分块方阵的拟行列式等于其
对角块拟行列式的乘积等等。但是也有一些行列式经典性质对拟行列式不成立,仍如 拟
行列式不是行(列)的线性函数}其Laplace展开公式不再成立等等。拟行列式的一个有趣
性质是:复方阵A的拟行列式恒为非负,事实上,有置换矩阵P使PF(A)Pr_^0 。从而
qdetA=detAdetA=ldetAl≥0。由此可见,四元数方阵的拟行列式不是复方阵行列式的
收稿 日期 1993—01—0
(D我们用B(。x)记元素属于环B的全悼mXn矩阵的集,Bcx)为矩阵环.
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推广,更为—般的结果是
定理 1 对每个四元数方阵A,qdetA是实数。
证明 令A一(+v),则F(A)一(F-)为nXn分块矩阵,其中
一 1 }, 1≤ ≤
t ‰ f
于是
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