均衡及约束凸优化问题公共解的一般迭代算法.pdf

田明等：均衡及约束凸优化 问题公共解的一般迭代算法 其中F是一个Lipschitz连续、强单调算子．他证明了在 { )满足适当条件下，由(1．3)生成的序列 { )强收敛到下述变分不等式的唯一解 面∈F()： (F童，一面)≥0，Vx∈F(T) 2006年，Marino和 Xu5【]提出了一般迭代算法 +1= 7f(x)+(I— A)Tx， 礼≥0 (1．4) 其中 是 日上的非扩张 自映射，，是压缩映射，A是强正有界线性算子．他证明了由 (1．4)生成的序 列 { )强收敛到算子 T的不动点 ，同时也是下述变分不等式的唯一解： ((Tf～A)x，X— )≤0，Vx∈F(T) 2010年，Tian。【]提出了下面的一般迭代算法 X+l= 7，()+(一 F)Tx， 礼≥0 (1．5) 其中F：H-÷日是一个Lipschitz连续、强单调算子．在一定条件下，获得了强收敛定理，即证明了由 (1．5)生成的序列 { )强收敛到下述变分不等式的唯一解 ∈F()： ((F～ ，) ，一 )≥0，Vx∈F(T) 随后，Tian 【】将这种算法扩展到更一般的情形 n+1= n7Vxn+(一 F)Txn，n≥0 也就是说，把算法 (1．5)中的压缩映射 ．厂推广到 Lipschitz连续算子 ，并获得类似的结论．2011年 Tian[81首次揭示并阐明了Yamada方法和粘滞迭代方法之间本质上的隶属关系． 设 是由C×C到R的双函数，其中R是实数集．考虑如下均衡问题 (EP)：寻找Z∈C，使得 (z，Y)≥0，VY∈C (1．6) 我们用 EP()表示均衡 问题的解集．给定一个映射 J ：C _÷日，设对于所有的 X，Y∈C，都有 (，Y)=(Jx，Y— )，则 ∈EP()当且仅当对于所有的Y∈C，(Jz，一Z)≥0．也就是说， 是变分 不等式的解．大量物理、优化及经济学中的问题都将退化到求问题 (1．6)的解．求解均衡问题 已经有 了一些方法，具体参见 f1，21． 通过与一般迭代格式相结合，许多学者构造出了复合的迭代格式，逼近非扩张算子不动点问题及 均衡问题的公共解，下面，我们列出他们的主要结论． 为了寻找EP()nF(s)中的一个点，Ceng等人 。【]提出了下列的迭代格式：1∈H， ， 1 I (n，Y)+ 一n，un—n)≥0，Vy∈C， IXn+1=OLnUn+(1～ n)Sun，VnEN， 、 在特定条件下，得到了弱收敛定理． 366 中国科学 ：数学 第 43卷 第 4期 为了寻找EP()nF(S)中的一个点，Takahashi和Takahashi[10]根据粘滞迭代理论，提出了下列 迭代方式： 1∈H， ( ，)+l(y - )≥。，V ∈c， I +1=Qn，()+(1一OL)Sun，Yn∈N， 在适当条件下，可 以获得强收敛定理． 另一方面，考虑如下的约束凸极小化 问题： min{g(x)： ∈ } (1．7) 其中，g：C-÷R是一个实值凸函数．我们都知道，梯度投影法 (GPA)在解决约束凸极小化问题中扮 演着重要的角色．如果g是可微的，则根据梯度投影法，由以下迭代方式生成序列 { )， z+l=Pc(x 一入V夕(n))，Yn≥0，