基于惩罚回归样条的积分近似计算与应用.pdf

第 31卷第 2期 大 学 数 学 VoI．31，№ ．2 2015年 4月 COLLEGE MATHEMATICS Apr．2015 基于惩罚回归样条的积分近似计算与应用 严恒普 ， 杨联强 ， 戴习民 (1．安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601； 2．合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009) [摘 要]提出一种利用惩罚回归样条拟合被积函数厂(z)，从而计算复杂积分 I厂(z)dx的新方法．在 J 仅知 _厂(z)带随机扰动的离散数据点集的情况下，利用基于截断幂形式的样条基函数 ，通过惩罚样条 回归，给 出函数的多项式拟合结果，再根据该多项式形式便捷计算 出积分．模拟和实际应用结果显示该方法计算简单 快捷 ，并具有较好 的准确度． [关键词]惩罚样条；积分计算；回归 [中图分类号]O212．7 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2015 1 引 言 复杂积分的近似计算在实际应用 中有着非常广泛 的应用 ，其 中有两类常见的问题．一类是函数 厂(-z)未知 ，但能收集到函数 的离散数据点集 ( ，Y)，其中Y；一．厂(z)+ ￡，￡是随机误差项 ，此时如何 r^ gb 一 一 一 求 l厂(z)dx；另一类就是．厂(z)已知，但是无法求出原函数，例如 I d ．第二类问题由于已知函数 Jn Jn 工 表达式 ，可以通过采集该 函数的离散数据点集来转化为第一类问题．这类问题 的研究在实际应用中是非 常有意义的，经济学中，在计算基尼系数时，需要计算位于洛伦茨 曲线 以下部分 的面积 ；在物理学研究 中，变力做功 ，转动惯量 的计算等涉及到此类问题．已有的研究结果 中，王炜 ]给出了带光滑权 函数 的指 rb 数函数的估计，利用主项及余项估计法估计 }g()P(_厂(z))dx；赵丽_2提出三次样条函数估计形式如 Jd rh 同I厂()sinmxdx的高振荡的积分；陈新一 利用微分中值定理中值点的渐近性给出了定积分一个估 J “ 计式 ；刘亚锋 导出了以高次曲线拟合定积分 的计算公式 ；A．D．A1一Nasse_l5提 出了基于 MonteCarlo 方法的一维积分估计．本文提出一种新的解决此类问题的方法 ，以截断幂基形式 的惩罚样条对函数的离 散数据点集进行 回归 ，给出被积函数的近似表达式 ，进而根据该表达式求出积分值．这种方法理论简单 ， 计算快捷 ，模拟结果显示准确度较高．最后我们还给出了一个应用实例． 2 惩罚回归样条与积分计算 2．1 惩罚样条 回归 对于给定 的离散数据点集 (z， )，i一 1，2，…，．有多种方法可 以发掘其 内在 的函数关系 Y ===f(x)+E，在 以截断幂基样条函数为拟合工具情况下嘲，通常设 K _厂(z)一po+ +…+ z一+∑陬 (～K)：， (1) k= 1 [收稿 日期]2014—08一】1 [基金项 目] 国家 自然科学基金 第2期 严恒普 ，等：基于惩罚回归样条的积分近似计算与应用 57 其 中 一 (po，卢， ，… ， ，。，…， )为待估参数 向