复习资料系列之二 函数的单调性及其应用.doc

复习资料系列之二 函数的单调性及其应用 核心知识·理清知识脉络 函数的单调性： 一、单调性知识结构图: 二、单调性概念剖析： 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M ；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论 M为最大值 M为最小值 (1) 单调性是函数的局部性质,是相对于定义域上的某个范围而言 的,应优先研究定义域，多数函数在整个定义域上并非是单调函数, 而是有几个单调区间; (2) 写函数的单调区间时一定要注意要写出“最大的范围”,比如 可以说右边的函数在区间(0,1)上是递增的,但我们不能说 该函数的单调递增区间是(0,1),只能说这个函数的一个单调递增区间为(-2,1); (3) 函数在一个单调区间的子区间上的单调性与在该区间上的单调性相同; (4) 函数在某点处是谈不上单调性的, 如不能说函数在处是增函数; (5) 写单调区间时, 当可以包含区间端点时(区间端点在定义域内, 函数在端点处具有连续性等), 单调 区间可以写成闭区间, 也可以写成开区间; (6) 两个单调性相同的区间不能随便并起来,例如函 上是减函数. (7) 并非所有函数都有单调区间,例如常函数=8就没有单调区间. 2. 证明(判断)函数在某区间的单调性的步骤: 设元→作差(或作商)→判号→定论, 即： (1)设是函数在该区间的任意的两个值,并设; (2)根据函数的解析式，分别求出; (3)比较的大小(常用作差法,在条件适合的情况下,有时也作商, 此步是问题解决的重点  和关键, 应掌握其运算目标及运算技巧，论证时要做到理由充足）; (4) 最后由单调性的定义得出结论. 3. 几个有关单调性的重要结论: (1) 熟练掌握一些基本初等函数的单调性, 比如一次函数,二次函数, 反比例函数的单调性; (2)的单调性的关系: 若,则二者单调性相同; 若, 则二者单调性相反; (3)当恒正或恒负时,与的单调性相反; (4)几个函数的和、差、积、商的单调性: 某区间上的两个增函数相加构成的新的函数，在该区间上仍是  增函数；两个某区间上非负 的增函数的积在该区间上仍是增函数. 4. 复合函数的单调性的判断法则: 同增异减 (要注意内函数在该区间上函数值的范围要位于外函数的某 单调区间内). 5. 求函数单调区间的常用方法: (1)定义法; (2)直接法(即运用常用结论); (3)复合函数法; (4)图像法. 6. 函数单调性的初步运用：(1)求函数的值域或最值; (2)解函数不等式，理解其处理技巧; (3)已知单调区间或区间上不单调求参数的取值范围.（4）处理方程根及不等式问题（同时了解方程及不等式的恒成立于有解问题）. 函数单调性的定义 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 对于函数f(x)x∈D,若x1x2∈D, 且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0则函数f(x)在D上是增函数．(　　) f(x)在和都是增函数，若，且那么 (3) 函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)(4) 函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)(　　) 4. 求函数f(x)＝x＋(x)的单调区间.  8.若在区间上是增函数，则下列结论正确的是A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是___，________. （2）求函数的值域 12.（1） 如果关于的方程 有实数根，则a的取值范围是（） A. B. C. D. （2）方程有正数解，则a的取值范围是