复变函数(西交大)第二讲.ppt

第二讲　复变函数与解析函数 作 业 P34 26, 27 P66 3(2)(4) * 1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射 §5 复变函数 1. 复变函数的定义 —与实变函数定义相类似 定义 例1 例2 o x y (z) G o u v (w) G G* w=f(z) 在几何上， w=f(z)可以看作： 定义域 函数值集合 2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义 z w=f(z) w 以下不再区分函数与映射（变换）。 在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观. 复变函数的几何意义是一个映射（变换） 例3 解 —关于实轴对称的一个映射 见图1-1~1-2 —旋转变换(映射) 见图2 例4 解 o x y (z) x、u y、v (z)、(w) o x、u y、v (z)、(w) o 图1-1 图1-2 图2 u v (w) o 例5 o x y (z) o u v (w) o x y (z) o u v (w) R=2 R=4 3. 反函数或逆映射 例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射 ∴为多值函数,2支. 定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G* 则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）. 例 已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在平面w上的象。 例 1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性 §6 复变函数的极限与连续性 1. 函数的极限 定义 u v (w) o A x y (z) o 几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中 (1) 意义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 2. 运算性质 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1 (3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的. 定理2 以上定理用极限定义证! 例1 例2 例3 3.函数的连续性 定义 定理3 例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 x y (z) o z z 定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。 有界性： 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念 §2.1 解析函数的概念 一. 复变函数的导数 (1)导数定义 定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D， 如果极限 存在，则称函数 f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。 (1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z) 例1 (2)求导公式与法则 ① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0. ② (zn)?=nzn-1 (n是自然数). 证明 对于复平面上任意一点z0，有 ----实函数中求导法则的推广 ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则 [f (z)±g (z)]? =f? (z)±g?(z)， [f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z) ④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z)， 其中w=g(z)。 ⑤ 反函数的导数 ，其中: w=f (z) 与z=?(w)互为单值的反函数，且??(w)?0。 思考题 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？ 例2 解 解