复变函数课件2.1.ppt

1 复变函数的导数和微分 导数的分析定义： 2 解析函数的概念与求导法则 注 四则运算法则 复合函数求导法则 反函数求导法则 解析函数的性质 P50 例2.3-2.5 3 Cauchy-Riemann条件： 定理2.2的证明（必要性）： 定理2.2的证明（充分性）： 复变函数的解析条件 注: 和数学分析中结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解； 柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）； 解析函数的导数有更简洁的形式： 反例： 例 5 * * * * 第一节 解析函数和柯西－黎曼方程 1、复变函数的导数和微分 2、解析函数及其简单性质 第二章 解析函数 3、柯西－黎曼方程 容易证明： 可导 可微 ； 可导 连续。 应该注意：上述定义中 的方式是任意的。 例1 求 f (z) = z2 的导数。 解: 因为 所以 f (z) = 2z . 复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。 * 解 例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导? * 讨论 的可导性。 练习 注1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等； 注2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念； 注3、函数在一点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导；反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析； 函数在一点解析 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 否则称为奇点 。 * 例3 解 由本节例1和例2和练习知: 1、?两个解析函数和差积商后仍为解析函数； 2、两个解析函数的复合函数仍为解析函数； 3、 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。 * 练习 解 例4 讨论下列函数的可导性和解析性：